Question

Se a ≡ b(mod m), então, para todo inteiro n ≥ 0 tem-se a n ≡ b n (mod m).

alguém pode provar isso(teoria dos números(congruência))​

Answer 1

Explicação passo a passo:

Demonstração:

    $\begin{array}{l}a\equiv b\quad(\mathrm{mod~}m)\\\\ \Longleftrightarrow\quad m|\,(a-b)\\\\ \Longleftrightarrow\quad a-b=k\cdot m\end{array}$

para algum $k\in\mathbb{Z}.$

Multiplicando os dois lados da igualdade por $n\in\mathbb{N}$ arbitrário, temos

    $\begin{array}{l} \Longrightarrow\quad (a-b)\cdot n=(k\cdot m)\cdot n\\\\ \Longleftrightarrow\quad a\cdot n-b\cdot n=(k\cdot n)\cdot m\\\\ \Longrightarrow\quad m|\,(a\cdot n-b\cdot n)\\\\ \Longleftrightarrow\quad a\cdot n\equiv b\cdot n\quad(\mathrm{mod~}m)\end{array}$

como queríamos.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)