Question

Se (a,b) é o maior intervalo de números reais que pode ser usado como domínio de f(x)= raiz quadrada de (2^× - 8) (9^15 - 3^×) fecha raiz. Determine o valor de b-a

Answer 1

Resposta:

27

Explicação passo-a-passo:

Sendo um radicando de uma raiz quadrada, $(2^x-8)(9^{15}-3^x)\geq 0$. Vamos inicialmente calcular os valores para os quais $(2^x-8)(9^{15}-3^x)=0$. Nesse caso, temos que:

$2^x-8=0$

$2^x=8$

$2^x=2^3\therefore x=3$

Além disso, também temos como solução:

$9^{15}-3^x=0$

$3^x=9^{15}$

$3^x=(3^2)^{15}$

$3^x=3^{30}\therefore x=30$

Vamos agora para a inequação $(2^x-8)(9^{15}-3^x)>0$. Para que o produto entre dois números seja positivo, os números devem ser positivos ou negativos simultaneamente.

No caso em que $2^x-8>0$, se para $x=3$ obtemos um resultado nulo, basta que $x$ seja maior que 3 para o resultado ser positivo. Nesse caso, $9^{15}-3^x$ também deve ser positivo, logo $3^x<9^{15}=3^{30}$. Basta então que $x$ seja menor que 30 para a inequação ser verdadeira. A interseção entre os intervalos $x>3$ e $x<30$ é $3<x<30$.

Vamos agora para o caso em que $2^x-8<0$. Nesse caso, $2^x<8=2^3$ então basta que $x$ seja menor que 3. Temos também $9^{15}-3^x$ também deve ser negativo, logo $3^x>9^{15}=3^{30}$, bastando então que $x$ seja maior que 30. Como é impossível que $x$ seja menor que 3 e maior que 30 ao mesmo tempo, desconsideramos o caso em que ambos são negativos.

Temos então os intervalos $x=3$, $x=30$ e $3<x<30$. A união entre estes 3 intervalos é $3\leq x\leq 30=[3,30]$. Conclui-se assim que a resposta da questão é 30 - 3 = 27.