Question

Se a, b e c são raízes da equação x3 – 4x2 + x + 6 = 0, é correto afirmar que o valor da expressão 1/ab + 1/bc + 1/ca é igual a :

a) 1/6

b) 7/4

c) 4

d) - 1/6

e) - 2/3

Answer 1

Relações de Girard para polinômio de grau 3 :

$\text A.\text x^3+\text B.\text x^2 +\text C.\text x + \text D$

raízes :

$\text a, \text b , \text c$

Relações :

$\displaystyle \text{a + b + c} = \frac{-\text B}{ \text A} \\\\\ \text {a.b + a.c + b.c} = \frac{\text C}{\text A} \\\\ \text{a.b.c} = \frac{-\text D}{\text A}$

Vamos para a questão.

a,b e c são raízes do equação :

$\text x^3-4\text x^2+\text x + 6 = 0$

queremos o valor da expressão :

$\displaystyle \frac{1}{\text {a.b}}+\frac{1}{\text{b.c}}+\frac{1}{\text{a.c}}$

Tirando o mmc :

$\displaystyle \frac{1}{\text {a.b}/\text c}+\frac{1}{\text{b.c}/\text a}+\frac{1}{\text{a.c}/\text b} \\\\\\ \frac{\text {a + b + c }}{\text {a.b.c}}$

usando as relações de girard, temos :

$\displaystyle \text{a + b + c} = \frac{-(-4)}{1} =4 \\\\ \text{a.b.c} = \frac{-6}{1} = -6$

Substituindo na expressão  :

$\displaystyle \frac{\text {a + b + c }}{\text {a.b.c}} \to \frac{4}{-6} \\\\\\ \frac{-2}{3} \\\\ \underline{\text{portanto}}: \\\\\\ \huge\boxed{\frac{1}{\text{a.b}}+\frac{1}{\text{b.c}}+\frac{1}{\text{a.c}} = \frac{-2}{3}\ }\checkmark$

letra e