Question

Se a, b e c são números inteiros positivos tais que
3a = 4b = 7c, qual é o menor valor possível de a + b + c ?

Answer 1

Seja $N$ o número dado por $N=3a=4b=7c$. Então, o número $N$ é um múltiplo de $3,4$ e $7$.

Portanto, quando fatoramos o número $N$ em fatores primos, aparecem, pelo menos, os fatores $2,3$ e $7$, o primeiro dos quais com expoente, no mínimo, igual a $2$.

Segue que $N$ é um múltiplo de $2^2\times3\times7=84$. Por outro lado, os números $a=4\times7=28$, $b=3\times7=21$ e $c=4\times3=12$ satisfazem as igualdades $3a=4b=7c$.

Logo, $a=28$, $b=21$ e $c=12$ são os menores valores possíveis para $a,b$ e $c$ e $28+21+12=61$ é o menor valor possível para $a + b + c$.

Answer 2

Seja n = 3a = 4b = 7c

Logo o número n é múltiplo comum de 3, 4 e 7

Determinando o mmc(3,4,7):

3,4,7 | 2
3,2,6 | 2
3,1,7 | 3
1,1,7 | 7
1,1,1 |          Logo mmc(3,4 e 7) = 84

Logo 3a = 84 ---> a = 84/3 = 28
         4b = 84 ---> b = 84/4 = 21
         7c = 84  ---> c = 84/7 = 12

Assim o número procurado é: 28 + 21 + 12 = 61