Question

Se a, b e c são as raízes do polinômio x^3 -2x^2 -3x -4, determine o valor numérico de (a^5-b^5)/(a-b) + (b^5 - c^5)/(b-c) + (c^5 - a^5)/(c-a) .

Answer 1

A ideia mais interessante nesse problema é expressar $a^{5}$ em função de potências menores de a (análogo para b e c).
Como a é raiz do polinômio, temos que $a^{3} -2a^{2} - 3a - 4 = 0$, logo:
$a^{3} = 2a^{2} + 3a + 4$. Multiplicando por a, tem-se que $a^{4} = 2 a^{3} + 3 a^{2} + 4a = 2(2a^{2} + 3a +4) + 3a^{2} +4a = 7 a^{2} +10a+8$.
Novamente, multiplicando por a: 
$a^{5} = 7 a^{3} + 10 a^{2} +8a = 7(2 a^{2} +3a+4) + 10a^{2} + 8a = 24 a^{2} +29+28$
Usando os mesmos passos para b e c, chega-se a:
$a^{5} = 24 a^{2} +29a+28$
$b^{5} = 24b^{2} +29b + 28$
$c^{5} = 24 c^{2} +29c + 28$

Daí temos, $a^{5} - b^{5} = 24( a^{2} - b^{2} ) + 29(a-b)$ e $\frac{ a^{5} - b^{5} }{a-b} = 24(a+b) + 29$

Portanto, $\frac{ a^{5} -b^{5} }{a-b} + \frac{b^{5}- c^{5} }{b-c} + \frac{ c^{5} - a^{5} }{c-a} = [24(a+b)+29] + [24(b+c)+29] + [24(c+a)$$+29] = 48(a+b+c) +87$.

Agora podemos ver pelas relações de Girard, que $a + b + c =2$. Então, a expressão pedida é igual a $48*2 + 87 = 183$.

É isso espero ter ajudado, se tiver dúvida em algo na resolução pode perguntar!!