Question

Se a-b=1 e ab=1 qual é o valor de a2 + b2

Answer 1

Primeiramente vamos analisar os dados do exercício:

a-b=1
a*b=1

Temos aqui um sistema de duas equações com duas incógnitas, a e b.
Assim, vamos manipular a primeira equação para isolar uma das variáveis:

a-b=1 
a = b + 1

Agora, basta substituirmos a por b+1 na segunda equação:

a*b = 1
(b+1) * b = 1

Aplicando a propriedade distributiva, chegamos a uma equação do segundo grau com a incógnita b:

b² + b = 1
b² + b - 1 = 0

Sendo uma equação do segundo grau, teremos como resposta duas raízes, b1 e b2.

Para tal, vamos calcular o Δ:

b² + b - 1 = 0

Δ= b² - 4*a*c
Δ = 1² - 4 * 1 * (-1)
Δ = 1 +4
Δ= 5

√Δ =√5

Vamos agora substituir√Δ e encontrar as raízes b1 e b2:

b = (-b +- √Δ)/2*a
b = (-1 +- √5)/(2*1)

b1 = (-1+√5)/2 =
b1 = -1/2 + √5/2

b2= (-1-√5)/2
b2 = -1/2 - √5/2

Para encontrarmos o valor de a, basta substituirmos na primeira equação 

a = b + 1

a1 = b1 + 1
a1 = -1/2 + √5/2 + 1
a1 = (-1/2 + 1) + √5/2
a1 = (-1 + 2)/2 + √5/2
a1 = 1/2 + √5/2


a2 = b2 + 1
a2=  -1/2 - √5/2 + 1
a2 = (-1 + 2)/2 - √5/2
a2 = 1/2 - √5/2


Desta forma temos:

b1 = -1/2 + √5/2
b2 = -1/2 - √5/2
a1 = 1/2 + √5/2
a2 = 1/2 - √5/2

b1² = (-1/2 + √5/2)² = (-1/2)² + 2*(-1/2)*(√5/2) + (√5/2)² = 1/4 + √5/2+ 5/4 = (1+ 2√5+ 5) /4 = (6 +2√5)/4

b2² = ( -1/2 - √5/2)² =  (-1/2)² - (2*(-1/2)*(-√5/2)) + (-√5/2)² = 1/4 - √5/2+ 5/4 = (1- 2√5+ 5) /4 = (6 - 2√5)/4

a1² = (1/2 + √5/2)² =  (1/2)² + 2*(1/2)*(√5/2) + (√5/2)² = 1/4 + √5/2 +5/4 = (6 +2√5)/4

a2² = (1/2 - √5/2)² =  (1/2)² - (2*(-1/2)*(-√5/2)) + (-√5/2)² = 1/4 - √5/2+ 5/4 = (1- 2√5+ 5) /4 = (6 -2√5)/4

A pergunta é qual é o valor de a2 + b2, que foi entendida como o valor de a²+b².

a1²+b1² = (6 +2√5)/4 + (6 +2√5)/4 = 2*(6 +2√5)/4 = (6 +2√5)/2

a2² +b2² = (6 -2√5)/4 + (6 - 2√5)/4 = 2 * (6 -2√5)/4 = (6 -2√5)/2