Question

Se A=(aij)4x7, B=(bij)7x9, C=AxB e, alem disso, aij= i-j e bij= cos(j$\pi$), então calcule o elemento c45.

Answer 1

A primeira matriz A[i,j] tem 4 linhas e 7 colunas sendo que 
A[i,j] = i - j
então
A[1,1] = 1 - 1 = 0
A[1,2] = 1 - 2  = -1
A[1,3] = 1 - 3 = -2
e assim por diante
Então a matriz fica assim
$\left[\begin{array}{cccccccc}0&-1&-2&-3&-4&-5&-6&\\ 1&0&-1&-2&-3&-4&-5&\\ 2&1&0&-1&-2&-3&-4&\\ 3&2&1&0&-1&-2&-3&\\\end{array}\right]$

A matriz B tem 7 linhas e 9 colunas e a regra de formação é
B[i,j] = coseno( π * j) 
aqui vai acontecer uma coisa interessante. O j vai variar de 1 a 9 (9 colunas)
cada vez que o j for ímpar vai dar cos(π * ímpar ) = -1
coseno(π * par) = 1
Então vai alternar entre -1 e 1 
Observe que a regra coseno(π * j)  não tem a varíavel i portanto, o número da linha não importa. Então a matriz vai ficar 

$\left[\begin{array}{ccccccccc}-1&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1&\\ -1&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1&\\ -1&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1&\\ -1&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1&\\ -1&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1&\\ -1&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1&\\ -1&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1&\end{array}\right]$

Agora o produto de A * B vai dar uma matriz de 4 x 9 assim
$\left[\begin{array}{ccccccccc}21&-21&21&-21&21&-21&21&-21&21&\\ 14&-14&14&-14&14&-14&14&-14&14&\\ 7&-7&7&-7&7&-7&7&-7&7&\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&\end{array}\right]$


O elemento C[4,5] tem valor 0

o elemento C[i,j] vai ser igual ao 
somatório de A[i,k] * B[k,j] para variando de 1 a 7 (pela regra de multiplicações de matrizes) com i  = 4 e j = 5
A[4,1] * B[1,5] + A[4,2] * B[2,5] + A[4,3] * B[3,5] + A[4,4] * B[4,5] + A[4,5] * B[5,5] + A[4,6] * B[6,5] + A[4,7] * B[7,5] 
Pela regra de A temos que 
A[4,1] = 4 -1 = 3
A[4,2] = 4-2 = 2
A[4,3] = 4-3 = 1
A[4,4] = 4-5 = 0 
A[4,5] = 4 -5 = -1
A[4,6] = 4 - 6 = -2
A[4,7]= = 4 - 7 = -3
Então ficamos com 
3 * B[1,5] + 2 * B[2,5] + 1 * B[3,5] + 0 * B[ 4,5] + (-1) * B[5,5]  + (-2) * B[6,5] + (-3) * B[7,5] 
Lembrando que B só tem 1 e -1 sendo que 1 quando a coluna é par e -1 quando a coluna é ímpar
entao
3 * (-1) + 2 * 1 + 1 *(-1) + 0 * 1 + (-1) *(-1) + (-2)* 1 + (-3) * (-1)  
-3 + 2 -1  + 0 + 1  -2 + 3 = 0