Question

Se A= (aij)³×³ tal que aij = 2i + j, calcule det A e det At.

Answer 1

Primeiro vamos montar a matriz segundo sua regra de formação:

$\mathsf{A=(aij)_{3x3}~|~aij=2i+j}$


$\mathsf{A=}\begin{pmatrix} (2\cdot1+1)&(2\cdot1+2) &(2\cdot1+3) \\(2\cdot2+1) &(2\cdot2+2) &(2\cdot 2+3) \\(2\cdot3+1) &(2\cdot3+2) &(2\cdot3+3) \end{pmatrix}$


$\mathsf{A=}\begin{pmatrix} 3 &4 &5 \\ 5&6 &7 \\ 7&8 &9 \end{pmatrix}$


Como a matriz é de ordem n = 3 podemos utilizar da regra de Sarrus para calcular seu determinante. 

Para isso repetiremos a primeira e a segunda coluna ao lado da matriz, da seguinte maneira:


$\begin{vmatrix} 3 &4 &5 \\ 5&6 &7 \\ 7&8 &9 \end{vmatrix}\left.\begin{matrix} 3&4 \\ 5&6 \\ 7&8 \end{matrix}$


E então realizamos as seguintes operações: (abra a imagem em anexo para entender):


$\mathsf{det~A=3\cdot6\cdot9+4\cdot7\cdot7+5\cdot5\cdot8-5\cdot6\cdot7-3\cdot7\cdot8-4\cdot5\cdot9}\\\\\mathsf{det~A=162+196+200-210-168-180}\\\\\mathsf{det~A=558-558}\\\\\mathsf{det~A=0}$


O determinante da matriz transposta de A vem de imediato, visto que se At é matriz transposta de A seus determinantes são iguais, ou seja:

$\mathsf{det~A=det~A^t=0}$

Answer 2

Boa Tarde,

se a matriz A, é do tipo 3x3, então isso significa que ela possui 3 linhas e 3 colunas (matriz quadrada de 3a ordem), podemos então escrever a sua matriz genérica:

$\mathsf{A}=\left(\begin{array}{ccc}\mathsf{a_{11}}&\mathsf{a_{12}}&\mathsf{a_{13}}\\\mathsf{a_{21}}&\mathsf{a_{22}}&\mathsf{a_{23}}\\\mathsf{a_{31}}&\mathsf{a_{32}}&\mathsf{a_{33}}\end{array}\right)$

Usando a lei de formação para a matriz A, aij=2i+j, (duas vezes a linha somada com a coluna):

ESCREVENDO A MATRIZ A:


$\mathsf{A_{(ij)(3x3)}}=} \left(\begin{array}{ccc}\mathsf{2\cdot1+1}&\mathsf{2\cdot1+2}&\mathsf{2\cdot1+3}\\\mathsf{2\cdot2+1}&\mathsf{2\cdot2+2}&\mathsf{2\cdot2+3}\\\mathsf{2\cdot3+1}&\mathsf{2\cdot3+2}&\mathsf{2\cdot3+3}\end{array}\right)\\\\\\ \mathsf{A_{(ij)(3x3)}}=} \left(\begin{array}{ccc}\mathsf{2+1}&\mathsf{2+2}&\mathsf{2+3}\\\mathsf{4+1}&\mathsf{4+2}&\mathsf{4+3}\\\mathsf{6+1}&\mathsf{6+2}&\mathsf{6+3}\end{array}\right)\\\\\\\mathsf{A_{(ij)(3x3)}}=} \left(\begin{array}{ccc}\mathsf{3}&\mathsf{4}&\mathsf{5}\\\mathsf{5}&\mathsf{6}&\mathsf{7}\\\mathsf{7}&\mathsf{8}&\mathsf{9}\end{array}\right)$

..................................................


CALCULANDO O SEU DETERMINANTE:

$\mathsf{Det_{A}=} \left|\begin{array}{ccc} \mathsf{3}&\mathsf{4}&\mathsf{5}\\\mathsf{5}&\mathsf{6}&\mathsf{7}\\\mathsf{7}&\mathsf{8}&\mathsf{9}\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}\mathsf{3}&\mathsf{4}\\\mathsf{5}&\mathsf{6}\\\mathsf{7}&\mathsf{8}\end{array}\right \\\\\\ \mathsf{Det_{A}=} \mathsf{3\cdot6\cdot9+7\cdot7\cdot4+5\cdot5\cdot8-7\cdot6\cdot5-8\cdot7\cdot3-9\cdot5\cdot4}\\\\ \mathsf{Det_{A}=162+196+200-210-168-180}\\\\ \mathsf{Det_{A}=558-558}\\\\\\ \Large\boxed{\mathsf{Det_{A}=0}}$

...........................................

CALCULANDO O DETERMINANTE DE A:

 $\mathsf{Det_{A^t}=Det_{A}=0}$

Tenha ótimos estudos ;P