Question

Se (a_1, a_2, a_3, a_4,. ) é uma progressão aritmética cuja razão é igual a r e se para cada n tomarmos, b_n =(a_{n 1})^2 - (a_n)^2, então b_{n 1} - b_n é igual a a) 2r b) 2r² c) 4r d) 4r²

Answer 1

Com a definição de termo geral de uma progressão aritmética, temos como resposta b) 2r²

Termo geral de uma progressão aritmética

O termo geral da série segue um certo padrão. Os termos consecutivos são obtidos pela adição ou multiplicação de um número anterior. Às vezes, cada termo de uma série segue uma expressão. O termo geral de uma progressão aritmética é dado por:

• an = a1 + (n - 1)r

Progressão aritmética:

• (a1, a2, a3, a4....);
• r = a2- a1;
• an = a1 + (n - 1).r

Temos:

$b_n=\left(a_{n+1}\right)^2-\left(a_n\right)^2$

e queremos determinar:

$b_{n+1}-b_n=?$

Podemos reescrever o seguinte termo $\:r\:=\:a_2-\:a_1$ de outra forma: $a_2\:=\:a_1\:+\:r$, ou seja:

$\begin{cases}r=a_{n+1}-an&\\\\ou\\\\\ r=a_n-a_{n-1}&\end{cases}$

Dessa forma:

$b_n=\left(a_{n+1}-a_n\right)\cdot \left(a_{n+1}+a_n\right)$

$b_n=r\cdot \left(a_{n+1}+a_n\right)$

$b_n=r\cdot \left(2a_n+r\right)\Rightarrow 2r^2$

Saiba mais sobre progressão aritmética:https://brainly.com.br/tarefa/3726293

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