Question

Se A (1, 7) e B (1, 1), determine as coordenadas do ponto C para que o triângulo ABC seja equilátero.

Answer 1

$Da,b= \sqrt{6^2} Da,b=6 Da,c= \sqrt{(xc-1)^2+(yc-7)^2} xc^2+yc^2-2xc-14yc+14=0 . Db,c= \sqrt{(xc-1)^2+(yc-1)^2} xc^2+yc^2-2xc-2yc-34=0 . \left \{ {{xc^2+yc^2-2xc-14yc+14=0} \atop {xc^2+yc^2-2xc-2yc-34=0}} \right. -12yc+48=0 12yc=48 yc=4 . xc^2+16-2xc-8-34=0 xc^2-2xc-26=0 x'=6,2 x''=-4,2$

S={(6,2;-4,2);4}

Answer 2

As coordenadas do ponto C são (1 + 3√3, 4) ou (1 - 3√3, 4).

Um triângulo equilátero possui os três lados com a mesma medida. Vamos supor que o ponto C é C = (x,y).

Utilizando a fórmula da distância entre dois pontos, obtemos a distância entre os pontos A = (1,7) e B = (1,1):

d² = (1 - 1)² + (1 - 7)²

d² = 0² + (-6)²

d² = 36

d = 6.

Sendo assim, a distância entre os pontos A e C, B e C tem que ser igual a 6. Então:

(x - 1)² + (y - 7)² = 6²

x² - 2x + 1 + y² - 14y + 49 = 36

x² - 2x + y² - 14y = -14

e

(x - 1)² + (y - 1)² = 6²

x² - 2x + 1 + y² - 2y + 1 = 36

x² - 2x + y² - 2y = 34.

Da equação x² - 2x + y² - 14y = -14, podemos dizer que x² - 2x = -y² + 14y - 14.

Assim:

-y² + 14y - 14 + y² - 2y = 34

12y = 48

y = 4.

Então:

x² - 2x = -(4)² + 14.4 - 14

x² - 2x = 26

x² - 2x - 26 = 0.

Temos aqui uma equação do segundo grau. Para resolvê-la, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ = (-2)² - 4.1.(-26)

Δ = 4 + 104

Δ = 108

$x=\frac{2+-\sqrt{108}}{2}$

$x=\frac{2+-6\sqrt{3}}{2}$

x = 1 ± 3√3.

Portanto, o ponto C pode ser C = (1 + 3√3, 4) ou C = (1 - 3√3, 4).

Para mais informações sobre distância entre pontos: https://brainly.com.br/tarefa/137445