Question

Se A=(-1,3) e B=(1,1), determine uma equação da mediatriz do segmento AB.​

Answer 1

Resposta:

Uma equação da mediatriz do segmento AB é  y = x + 2

( em anexo gráfico do segmento AB e da sua mediatriz )

Explicação passo a passo:

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                                /º\ P ( x ; y )

                             /   |      \

                        /        |            \

                   /             |                  \

              /                  |                        \

         /_______ ___|______________\

         A                      |  M                           B

                                 |

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A mediatriz de um segmento de reta é a reta que contem um ponto

genérico P (x ; y ) e que está sempre à mesma distância dos pontos A e B,

extremos do segmento

Há uma fórmula para a distância entre 2 pontos, de que são conhecidas as

coordenadas.

R (x1 ; y1 )   e   S ( x2 ; y2 )

$d_{RS} =\sqrt{(x_{2}-x_{1} )^2+(y_{2} -y _{1} )^2 }$  

Vamos aplicá-la duas vezes, uma para a distância  PA a outra para a

distância PB.

Assim

$d_{PA} =\sqrt{(x-(-1) )^2+(y -3 )^2 }$

$d_{PA} =\sqrt{(x+1 )^2+(y -3 )^2 }$

-------------------------

$d_{PB} =\sqrt{(x-1 )^2+(y -1 )^2 }$

Pelo que foi dito acima quanto a estas distâncias

     

$\sqrt{(x+1 )^2+(y -3 )^2 }$  = $\sqrt{(x-1 )^2+(y -1 )^2 }$

Elevando ambos os membros ao quadrado

$({\sqrt{(x+1 )^2+(y -3 )^2 } })^2=$ $(\sqrt{(x-1 )^2+(y -1 )^2 })^2$

${(x+1 )^2+(y -3 )^2 } =$  = ${(x-1 )^2+(y -1 )^2$

Temos aqui produtos notáveis: quadrado de uma soma e quadrado de uma

diferença

x² + 2x + 1 + y²- 6y + 9 = x² - 2x + 1 + y²- 2y + 1

 

simplificações :

x² e  y²  estão nos dois membros, com o mesmo sinal , por isso cancelam-se

mutuamente.

Os termos em y vão ficar no primeiro membro.

Os termos em x e independentes , vão ficar no segundo membro.

- 6y + 2y = - 2x + 1  + 1 - 2x - 1 - 9

- 4y = - 4x - 8

tudo a dividir por ( - 4 )  

y = x + 2

Bom estudo.