Question

se 9^x-3^x=72, entao, 2^(x+1)+6, vale:

Answer 1

Temos a equação exponencial:

$\begin{array}{l}\\\sf 9^x-3^x=72\\\\\end{array}$

Encontrando o valor de x primeiro, vamos igualar as bases na medida do possível:

$\begin{array}{l}\\\sf (3^2)^x-3^x=72\\\\\sf (3^x)^2-3^x=72\\\\\end{array}$

Veja que, como é uma potência de potência, os expontes se multiplicam, e devido a isso a ordem dos fatores não altera o produto, então tanto faz 2 ou x dentro, ou fora do expoente, já que o resultado é o mesmo: (3²)ˣ⇔(3ˣ)²

Deixamos com o x dentro pois podemos usar um artificio: 3ˣ = y. Assim obtemos:

$\begin{array}{l}\\\sf (y)^2-y=72\\\\\sf y^2-y-72=0\\\\\end{array}$

uma equação quadrática. Resolvendo por fatoração:

$\begin{array}{l}\\\sf y^2+8y-9y-72=0\\\\\sf y(y+8)-9(y+8)=0\\\\\sf (y+8)\cdot(y-9)=0\\\\\begin{cases}\sf y+8=0\\\\\sf y-9=0\end{cases}\\\\\begin{cases}\sf y'=-8\\\\\sf y''=9\end{cases}\\\\\end{array}$

Agora retornando a 3ˣ = y:

$\begin{array}{l}\\\begin{cases}\sf 3^x=-8~\Rightarrow~x\notin\mathbb{R}\\\\\sf 3^x=9~\Rightarrow~3^x=3^2~\Rightarrow~x=2\end{cases}\\\\\end{array}$

Como pode ver, 3ˣ = - 8 é impossível, uma vez que qualquer valor para x nunca resultará num valor negativo. Portanto x = 2.

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Agora, para finalizar a questão, vamos calcular o valor da expressão:

$\begin{array}{l}\\\sf2^{x+1}+6=2^{2+1}+6\\\\ \sf2^{x+1}+6=2^3+6\\\\\sf2^{x+1}+6=8+6\\\\\!\boxed{\sf2^{x+1}+6=14}\end{array}$

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Att. Nasgovaskov

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