Question

Se 4¹⁶ . 5²⁵ = a . 10ⁿ com 1 ≤ a ≤ 10, então n é igual a? Passo a passo, por favor.

Answer 1

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——————————

Isole o  a  na equação dada:

     4¹⁶ · 5²⁵ = a · 10ⁿ

                4¹⁶ · 5²⁵
     a  =  ——————
                    10ⁿ


Como  1 ≤ a ≤ 10,  devemos ter então
 
               4¹⁶ · 5²⁵
     1  ≤  ——————  ≤  10
                    10ⁿ

               (2²)¹⁶ · 5²⁵
     1  ≤  ———————  ≤  10
                     10ⁿ

              2²·¹⁶ · 5²⁵
     1  ≤  ——————  ≤  10
                   10ⁿ

               2³² · 5²⁵
     1  ≤  ——————  ≤  10
                   10ⁿ


Reescreva o expoente  32  como  7 + 25:

              2⁷⁺²⁵ · 5²⁵
     1  ≤  ——————  ≤  10
                   10ⁿ


Aplicando propriedades da potenciação:

               2⁷ · 2²⁵ · 5²⁵
     1  ≤  ————–———  ≤  10
                     10ⁿ

               2⁷ · (2 · 5)²⁵
     1  ≤  ————–———  ≤  10
                     10ⁿ

               128 · 10²⁵
     1  ≤  ———–———  ≤  10
                     10ⁿ
               
     1 ≤ 128 · 10²⁵⁻ⁿ ≤  10          (i)


Daí, o nosso problema se reduz a resolver a dupla desigualdade acima para  n.

     $\left\{\!\begin{array}{lc} \mathsf{1 \le 128 \cdot 10^{25-n}}&\qquad\mathsf{(ii)}\\\\ \mathsf{128 \cdot 10^{25-n}\le 10}&\qquad\mathsf{(iii)} \end{array} \right.$


Resolvendo as inequações  (ii)  e  (iii)  separadamente:

•    1 ≤ 128 · 10²⁵⁻ⁿ
 
          1
      ———  ≤  10²⁵⁻ⁿ
        128


Como a base é  10, que é maior que  1, tomando logaritmos de base  10  dos dois lados, o sentido da desigualdade se mantém:

     $\mathsf{\ell og\!\left(\dfrac{1}{128} \right )\le 25-n}\\\\\\ \mathsf{\ell og\!\left(128^{-1}\right)\le 25-n}\\\\ \mathsf{-\ell og(128)\le 25-n}\\\\\\ \mathsf{n\le 25+\ell og(128)}$


•    128 · 10²⁵⁻ⁿ ≤ 10
 
                        10
     10²⁵⁻ⁿ  ≤  ———
                       128


Tomando os logaritmos,

     $\mathsf{25-n\le \ell og\!\left(\dfrac{10}{128} \right )}\\\\\\ \mathsf{25-n\le \ell og(10)-\ell og(128)}\\\\ \mathsf{25-n\le 1-\ell og(128)}\\\\ \mathsf{25-1+\ell og(128)\le n}\\\\\\ \mathsf{n\ge 24+\ell og(128)}$


Fazendo a interseção, obtemos a solução para a dupla desigualdade  (i):

     $\mathsf{24+\ell og(128)\le n\le 25+\ell og(128)}$    <———   esta é a solução.

—————

Caso esteja procurando soluções inteiras, fazemos mais uma análise:

     100 < 128 < 1000

     10² < 128 < 10³


Portanto,

     $\mathsf{2\le \ell og(128) \le 3}$


e dessa forma

     $\mathsf{24+2\le 24+\ell og(128) \le 24+3}\\\\\\ \mathsf{26\le 24+\ell og(128) \le 27}$


e também
  
     $\mathsf{25+2\le 25+\ell og(128) \le 25+3}\\\\\\ \mathsf{27\le 25+\ell og(128) \le 28}$   


de onde tiramos

     $\mathsf{26\le 24+\ell og(128)\le 27\le 25+\ell og(128) \le 28}\\\\\\ \mathsf{24+\ell og(128)\le 27\le 25+\ell og(128)}$


Logo, a única solução inteira é  n = 27.


Bons estudos! :-)

Answer 2

Resposta:

Isole o a na equação dada:

4¹⁶ · 5²⁵ = a · 10ⁿ

4¹⁶ · 5²⁵

a = ——————

10ⁿ

Como 1 ≤ a ≤ 10, devemos ter então

4¹⁶ · 5²⁵

1 ≤ —————— ≤ 10

10ⁿ

(2²)¹⁶ · 5²⁵

1 ≤ ——————— ≤ 10

10ⁿ

2²·¹⁶ · 5²⁵

1 ≤ —————— ≤ 10

10ⁿ

2³² · 5²⁵

1 ≤ —————— ≤ 10

10ⁿ

Reescreva o expoente 32 como 7 + 25:

2⁷⁺²⁵ · 5²⁵

1 ≤ —————— ≤ 10

10ⁿ

Aplicando propriedades da potenciação:

2⁷ · 2²⁵ · 5²⁵

1 ≤ ————–——— ≤ 10

10ⁿ

2⁷ · (2 · 5)²⁵

1 ≤ ————–——— ≤ 10

10ⁿ

128 · 10²⁵

1 ≤ ———–——— ≤ 10

10ⁿ

1 ≤ 128 · 10²⁵⁻ⁿ ≤ 10 (i)

Daí, o nosso problema se reduz a resolver a dupla desigualdade acima para n.

\begin{gathered}\left\{\!\begin{array}{lc} \mathsf{1 \le 128 \cdot 10^{25-n}}&\qquad\mathsf{(ii)}\\\\ \mathsf{128 \cdot 10^{25-n}\le 10}&\qquad\mathsf{(iii)} \end{array} \right.\end{gathered}

⎩

⎪

⎨

⎪

⎧

1≤128⋅10

25−n

128⋅10

25−n

≤10

(ii)

(iii)

Resolvendo as inequações (ii) e (iii) separadamente:

• 1 ≤ 128 · 10²⁵⁻ⁿ

1

——— ≤ 10²⁵⁻ⁿ

128

Como a base é 10, que é maior que 1, tomando logaritmos de base 10 dos dois lados, o sentido da desigualdade se mantém:

\begin{gathered}\mathsf{\ell og\!\left(\dfrac{1}{128} \right )\le 25-n}\\\\\\ \mathsf{\ell og\!\left(128^{-1}\right)\le 25-n}\\\\ \mathsf{-\ell og(128)\le 25-n}\\\\\\ \mathsf{n\le 25+\ell og(128)}\end{gathered}

ℓog(

128

1

)≤25−n

ℓog(128

−1

)≤25−n

−ℓog(128)≤25−n

n≤25+ℓog(128)

• 128 · 10²⁵⁻ⁿ ≤ 10

10

10²⁵⁻ⁿ ≤ ———

128

Tomando os logaritmos,

\begin{gathered}\mathsf{25-n\le \ell og\!\left(\dfrac{10}{128} \right )}\\\\\\ \mathsf{25-n\le \ell og(10)-\ell og(128)}\\\\ \mathsf{25-n\le 1-\ell og(128)}\\\\ \mathsf{25-1+\ell og(128)\le n}\\\\\\ \mathsf{n\ge 24+\ell og(128)}\end{gathered}

25−n≤ℓog(

128

10

)

25−n≤ℓog(10)−ℓog(128)

25−n≤1−ℓog(128)

25−1+ℓog(128)≤n

n≥24+ℓog(128)

Fazendo a interseção, obtemos a solução para a dupla desigualdade (i):

\mathsf{24+\ell og(128)\le n\le 25+\ell og(128)}24+ℓog(128)≤n≤25+ℓog(128) <——— esta é a solução.

—————

Caso esteja procurando soluções inteiras, fazemos mais uma análise:

100 < 128 < 1000

10² < 128 < 10³

Portanto,

\mathsf{2\le \ell og(128) \le 3}2≤ℓog(128)≤3

e dessa forma

\begin{gathered}\mathsf{24+2\le 24+\ell og(128) \le 24+3}\\\\\\ \mathsf{26\le 24+\ell og(128) \le 27}\end{gathered}

24+2≤24+ℓog(128)≤24+3

26≤24+ℓog(128)≤27

e também

\begin{gathered}\mathsf{25+2\le 25+\ell og(128) \le 25+3}\\\\\\ \mathsf{27\le 25+\ell og(128) \le 28}\end{gathered}

25+2≤25+ℓog(128)≤25+3

27≤25+ℓog(128)≤28

de onde tiramos

\begin{gathered}\mathsf{26\le 24+\ell og(128)\le 27\le 25+\ell og(128) \le 28}\\\\\\ \mathsf{24+\ell og(128)\le 27\le 25+\ell og(128)}\end{gathered}

26≤24+ℓog(128)≤27≤25+ℓog(128)≤28

24+ℓog(128)≤27≤25+ℓog(128)

Logo, a única solução inteira é n = 27.

ESPERO TER AJUDADO ♡