Question

Se 4^(x) - 3= 2^(x+1) então:

a) 8^2x=27
b)8^2x= 81
c) 8^2x= 9^3

Answer 1

Após a realização dos cálculos ✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de equações exponenciais que  $\sf 8^{2x}=9^3$  o que corresponde a alternativa c✅

Propriedades das potências

São propriedades envolvendo potências que auxiliam a simplificar expressões. São elas:

• Produto de bases iguais

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf a^m\cdot a^n=a^{m+n}\end{array}}$

• Quociente de bases iguais

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\end{array}}$

• Potência de uma potência

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf(a^m)^n=a^{m\cdot n}\end{array}}$

• Produto de bases diferentes tomados ao mesmo expoente

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf (a\cdot b)^m=a^m\cdot b^m\end{array}}$

• Quociente de bases diferentes tomados ao mesmo expoente

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf\bigg(\dfrac{a}{b}\bigg)^m=\dfrac{a^m}{b^m}\end{array}}$

Equação exponenciais que exigem transformações e artíficios

Chama-se equação exponencial a toda equação cuja variável se encontra no expoente. A resolução de uma equação exponencial geralmente é feita igualando a base com o objetivo de igualar os expoentes. No entanto há equações que precisam de um artíficio para serem resolvidas e geralmente utiliza-se um novo parâmetro para tal solução, recaindo em equações de 1º grau ou de 2º grau. Depois de encontrado o valor do parâmetro retorna-se a substituição e encontra-se a variável original.

✍️Vamos a resolução da questão

Aqui iremos utilizar um artíficio onde recairemos em uma equação de 2º grau. Vale ressaltar que o parâmetro deve ser positivo caso contrário teremos uma solução vazia.

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf 4^x-3=2^{x+1}\end{array}}$

Vamos usar a decomposição em fatores primos e escrever o número 4 de outra forma:

$\begin{array}{c|c}\sf4&\sf2\\\sf2&\sf2\\\sf1\end{array}\\\sf 4=2^2$

substituindo na equação exponencial temos:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf(2^2)^x-3=2^{x+1}\end{array}}$

vamos utilizar a primeira propriedade das potências e reescrever o segundo membro de outra maneira e no primeiro membro vamos escrever o expoente 2 para fora do parênteses:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf(2^x)^2-3=2^x\cdot 2\end{array}}$

façamos $\sf 2^x=t,t\geqslant0$ e resolvamos a equação para t:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf t^2-3=2t\\\sf t^2-2t-3=0\\\begin{cases}\sf a=1\\\sf b=-2\\\sf c=-3\end{cases}\\\sf\Delta=b^2-4ac\\\sf\Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)\\\sf\Delta=4+12\\\sf\Delta=16\\\sf t=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\sf t=\dfrac{- (-2)\pm\sqrt{16}}{2\cdot1}\\\\\sf t=\dfrac{2\pm4}{2}\\\\\sf como\,t\geqslant0\,temos:\\\sf t=\dfrac{2+4}{2}\\\\\sf t=\dfrac{6}{2}\\\\\sf t=3\end{array}}$

agora vamos substituir t por 3 na igualdade anterior:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf 2^x=t\\\sf 2^x=3\end{array}}$

Agora iremos manipular a última igualdade  para obter 8 no primeiro membro . Para isso elevemos os dois membros ao cubo.

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf 2^x=3\\\sf (2^x)^3=3^3\\\sf (2^3)^x=3^3\\\sf 8^x=3^3\end{array}}$

Agora elevemos os dois membros ao quadrado:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf(8^x)^2=(3^3)^2\end{array}}$

escrevamos o 2º membro de outra maneira e concluamos o exercício:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf(8^x)^2=(3^2)^3\\\sf 8^{2\cdot x}=(9)^3\\\sf 8^{2x}=9^3\end{array}}$

Saiba mais em:

https://brainly.com.br/tarefa/6193499

https://brainly.com.br/tarefa/755709