Question

Se 2020^a = 5 e 2020^b = 101.

Calcule:

20^[(1 - a - b)/2(1 - b)]

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Answer 1

Resposta:

2

Explicação passo-a-passo:

Oi, eu tava dando uma olhada como outras pessoas respondem perguntas aqui, e acabei caindo na sua questão, não sei se ainda precisa, mas foi divertido fazê-la :

$\log_{2020}101 = b\\\log_{101}{2020} = \frac{1}{b}\\\log_{101}{20} + \log_{101}{101} = \frac{1}{b}\\\log_{101}{20} + 1 = \frac{1}{b}\\\log_{20}{101} = \frac{b}{1-b}$

Isso vai ser útil em breve :

$\log_{2020}{5} = a\\\dfrac{\log_{20}{2020}}{\log_{20}{5}} = \frac{1}{a}\\\dfrac{\log_{20}{20} + \log_{20}{101}}{\log_{20}{5}} = \frac{1}{a}\\\dfrac{1 + \log_{20}{101}}{\log_{20}{5}} = \frac{1}{a}$

Agora usando a informação da primeira parte :

$\dfrac{1 + \frac{b}{1-b}}{\log_{20}{5}} = \frac{1}{a}$

$\log_{20}5 = \dfrac{a}{1-b}$

E, por fim, com certa manipulação algébrica e depois de muita confiança:

$\dfrac{1-a-b}{2(1-b)} = \dfrac{1}{2}\cdot (1 - \dfrac{a}{1-b})$

O que nos permite reescrever a expressão a ser calculada como :

$20^{\frac{1-a-b}{2(1-b)}} = \sqrt{\dfrac{20^1}{20^{\frac{a}{1-b}}}}$

E pela definição de log :

$= \sqrt{\frac{20}{5}} = 2$

Se precisar de mais passos em alguma parte, deixa um comentário, tmj