Question

Se 2^x = 9 e 2^2y = 27, calcule 4x − y/x + 2y.
Resultado 13/10

Answer 1

Resposta: 13/10.

$2^x=9$

$2^x=3^2$

Como as bases não se igualam, aplique logaritmo na base 2 em ambos os membros de modo que, com suas propriedades, seja possível isolar a variável:

$log_2\,2^x=log_2\,3^2$

$xlog_2\,2=2log_2\,3$

$x\cdot1=2log_2\,3$

$x=2log_2\,3$

Na outra equação é o mesmo esquema:

$2^{2y}=27$

$2^{2y}=3^3$

$log_2\,2^{2y}=log_2\,3^3$

$2ylog_2\,2=3log_2\,3$

$2y\cdot1=3log_2\,3$

$2y=3log_2\,3$

$y=\frac{3}{2}log_2\,3$

Então substitua os valores de x e y na expressão proposta:

$\dfrac{4x-y}{x+2y}$

$=~~\dfrac{4(2log_2\,3)-(\frac{3}{2}log_2\,3)}{2log_2\,3+2(\frac{3}{2}log_2\,3)}$

$=~~\dfrac{8log_2\,3-\frac{3}{2}log_2\,3}{2log_2\,3+3log_2\,3}$

$=~~\dfrac{(8-\frac{3}{2})log_2\,3}{(2+3)log_2\,3}$

$=~~\dfrac{(\frac{16}{2}-\frac{3}{2})log_2\,3}{5log_2\,3}$

$=~~\dfrac{\frac{13}{2}log_2\,3}{5log_2\,3}$

$=~~\dfrac{\frac{13}{2}log_2\,3}{log_2\,3}\cdot\dfrac{1}{5}$

$=~~\dfrac{13}{2}\cdot\dfrac{1}{5}$

$=~~\dfrac{13}{10}$

Como esperávamos, (4x − y)/(x + 2y) = 13/10.

Nota: propriedades usadas: $log_x\,y^z=zlog_x\,y$ e $log_x\,x=1$.

Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.