Question

Se 2^x + ^3 = 28 + 2^x então x é igual a:

a) log(base 4) 2

b) log(base 4) 4

c) log(base 4) 8

d) log(base 4) 16

e) log(base 4) 32

Answer 1

Olá, boa tarde ◉‿◉

Pelo que eu notei da para resolver através de uma equação exponencial, o resultado que a gente vai obter, teremos que analisar com os valores das alternativas.

$\boxed{2 {}^{x + 3} = 28 + 2 {}^{x} }$

Ali no primeiro membro podemos dividir "em duas partes", basta lembrar da propriedade de multiplicação de potências de mesma base.

$2 {}^{x} . {2}^{3} = 28 + {2}^{x}$

Vamos estipular uma incógnita para o termo 2 elevado a "x", você pode escolher qualquer incógnita, mas no meu caso escolherei "y".

$\boxed{2 {}^{x} = y}$

$y. {2}^{3} = 28 + y \\ 8y = 28 + y \\ 8y - y = 28 \\ 7y = 28 \\ y = \frac{28}{7} \\ \boxed{y = 4}$

Mas lembre que a gente não quer descobrir o valor de "y" e sim de "x", então vamos substituir na expressão que criamos:

Substituindo:

$2 {}^{x} = y \\ 2 {}^{x} = 4 \\ \cancel2 {}^{x} = \cancel 2 {}^{2} \\ \boxed{x = 2}$

Com o valor de "x" em mãos, vamos analisar as alternativas para saber qual daqueles LOGS possui o valor igual a 2.

$a) \log_{4}(2) = n \rightarrow 4 {}^{n} = 2 \rightarrow 2 {}^{2n} = 2 {}^{1} \rightarrow \boxed{n = \frac{1}{2}}$

Não é a letra a)

$b) \log_{4}(4) = n \rightarrow 4 {}^{n} = 4 \rightarrow 2 {}^{2n} = 2 {}^{2} \rightarrow 2n = 2 \rightarrow \boxed{ n = 1}$

Não é a letra b)

$c) \log_{4}(8) = n\rightarrow 4 {}^{n} = 8 \rightarrow 2 {}^{2n} = 2 {}^{ 3} \rightarrow 2n = 3 \rightarrow \boxed{ n = \frac{2}{3} }$

Não é a letra c)

$\log_{4}(16) = n \rightarrow4 {}^{n} = 16\rightarrow2 {}^{2n} = 2 {}^{4} \rightarrow2n = 4 \rightarrow n= \frac{4}{2} \rightarrow \boxed{n = 2}$

RESPOSTA: letra d).

$e) \log_{4}(32) = n\rightarrow4 {}^{n} = 32\rightarrow2 {}^{2n} = 2 {}^{5} \rightarrow2n = 5\rightarrow \boxed{ n = \frac{5}{2} }$

Não é a letra e)

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️