Question

Se 2^x+ 2^-x=10 então 4^x + 4^-x vale?
URGENTE
(por favor, com resolução)​

Answer 1

O valor de $\mathsf{4^{x}+4^{-x}}$ é 98.

Explicação

Para resolver esta questão, vamos usar o seguinte produto notável, conhecido como quadrado da soma de dois termos:

Quadrado da soma de dois termos: Para quaisquer reais a e b, vale:

$\large\boxed{\mathsf{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.}}$

É dado que $\mathsf{2^x+2^{-x}=10}$ e deseja-se saber o valor de $\mathsf{4^x+4^{-x}.}$

Para tanto, eleve ambos os membros da igualdade dada ao quadrado.

$\large\mathsf{2^x+2^{-x}=10}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{(2^x+2^{-x})^2=10^2}$

Use a propriedade do quadrado da soma de dois termos no lado esquerdo da igualdade.

$\large\mathsf{(2^x+2^{-x})^2=10^2}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{(2^x)^2+2\cdot 2^x\cdot 2^{-x} +(2^{-x})^2=100}$

Aplique, no primeiro membro, a seguinte propriedade da potência $\mathsf{(a^m)^n=a^{m\cdot n}}$ (potência de uma potência) sendo $\mathsf{a\in\mathbb{R}}$ e $\mathsf{m,\,n\in\mathbb{Z}:}$

$\large\mathsf{(2^x)^2+2\cdot 2^x\cdot 2^{-x} +(2^{-x})^2=100}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{2^{2x}+2\cdot2^{x}\cdot2^{-x}+2^{-2x}=100}$

Aplique novamente a propriedade da potência de uma potência e lembre que $\mathsf{a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}}$  $\mathsf{(n\in\mathbb{N})}$ por definição.

$\displaystyle\large\mathsf{2^{2x}+2\cdot2^{x}\cdot2^{-x}+2^{-2x}=100}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{(2^2)^x+2\cdot\diagup\!\!\!\!2^{x}\cdot\frac{1}{\diagup\!\!\!\!2^{x}}+(2^2)^{-x}=100}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{4^x+2+4^{-x}=100}$

Por fim, subtraia 2 de ambos os membros ("passe" o 2 para o lado direito com o sinal trocado) e temos o resultado.

$\large\mathsf{4^x+2+4^{-x}=100}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{4^x+4^{-x}=100-2}\implies\\\\\\\implies\large\boxed{\boxed{\mathsf{4^x+4^{-x}=98}}}$

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