Question

se -2 é uma das raizes do polinomio f = 2x^3 + x ^2 - 8x - 4, então a forma fatorada de f é

Answer 1

Primeiro devemos achar todas as raízes.

*Note que se -2 é uma raiz do polinômio ele divide por x + 2 sem deixar resto, então vamos dividí-lo:
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Divisão de polinômios: É basicamente igual a divisão comum
 
   Divida o primeiro termo do polinômio pelo primeiro do polinômio divisor, o resultado vc multiplica por todos os termos do polinômio divisor e tira do polinômio principal, repita isso até não dar mais.

 2x³ + x² - 8x - 4        /x + 2 
-2x³ -4x²                    2x² - 3x - 2  << resultado
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-3x² - 8x - 4 
+3x² +6x 
__________
   -2x - 4 
  +2x + 4
   ______
          0  << resto  

Agora podemos achar as outras raízes igualando o resultado a 0.

2x² - 3x - 2 = 0        << vou resolver por bhaskara:

Δ = b² - 4ac
Δ = (-3)² - 4.2.(-2)
Δ = 9 + 16
Δ = 25

x = -b +/- √Δ /2a
x = -(-3) +/- √25  /2.2
x = 3 +/- 5 /4

x1 = 3+5 /4 = 8/4 = 2
x2 = 3-5 /4 = -2/4 = -1/2 ou -0,5

Agora note que podemos escrever a forma fatorada de um polinômio do terceiro grau como:
a(x - x1)(x - x2)(x - x3)         onde x1,x2 e x3 são as raízes, com base nisso:
2(x - (-2))(x - 2)(x - (-0,5)
2(x + 2)(x - 2)(x + 0,5)       << essa é a forma fatorada.

Ou, se preferir multiplique 2 com o último parênteses:
(x + 2)(x - 2)(2x + 1)         
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Vamos conferir se essa resposta está correta, para isso basta fazer as respectivas distributivas:

(x + 2)(x - 2)(2x + 1)  = 
(x² - 4)(2x + 1) = 
2x³ + x² - 8x - 4
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Bons estudos