Question

Se 2ˣ = a e $2^y = b$, para x e y reais, então o valor de $(0,25)^{-3x+y}$ é igual a:

a) a⁶b²
b) b²a⁻⁶
c) a⁻⁶b⁻²
d) a⁶b⁻²
e) $\sqrt{a^6b^2}$

Answer 1

Vamos lá.

Vamos ver, Flávio. 

Tem-se: se 2ˣ = a e se 2ʸ = b , então encontre o valor da seguinte expressão, que vamos chamá-la de um certo "k", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:

k = (0,25)⁻³ˣ⁺ʸ

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Antes note que se temos que:

se 2ˣ = a , então veja que isso é a mesma coisa que:
log₂ (a) = x --- ou seja: x = log₂ (a)
e se 2ʸ = b, então veja que isso é a mesma coisa que:
log₂ (b) = y, ou seja: y = log₂ (b).

ii) Assim, iremos na nossa expressão "k" e substituiremos "x" e "y" por seus valores acima encontrados. Logo:

k = (0,25)⁻³ˣ⁺ʸ ---- substituindo-se "x" e "y" por seus valores, teremos;

k = (0,25)^[-3log₂ (a)⁺log₂ (b)] ---- passando o "-3" como expoente do "a", teremos:

k = (0,25)^[log₂ (a⁻³) ⁺ log₂ (b)] ---- como a base dos expoentes são iguais, então poderemos transformar a soma em produto, com o que ficaremos assim:

k = (0,25)^[log₂ (a⁻³ * b)] ---- agora note que (0,25) = (25/100). Assim:
k = (25/100)^[log₂ (a⁻³ * b)] ----- note ainda que 25/100 = 1/4 (após simplificaremos tudo por "25").  Assim, ficaremos com:

k = (1/4)^[log₂ (a⁻³ * b) ---- note que 1/4 = 1/2² = 2⁻² . Assim, substituindo-se, teremos:

k = (2⁻²)^[log₂ (a⁻³ * b] ---- note que o "-2" subirá como expoente, ficando:
k = (2)^[log₂ (a⁻³ * b)⁻²] ---- ou, o que é a mesma coisa:
k = (2)^[log₂ ((a⁻³)⁻² * b⁻²] ---- desenvolvendo, teremos;
k = (2)^[log₂ (a⁻³*⁽⁻²⁾ * b⁻²]
k = (2)^[log₂ (a⁶ * b⁻²]

Agora note isto: se temos que: x^[logₓ (T)], então isto é igual a "T" .
Dessa forma, tendo a relação acima como parâmetro, então a nossa expressão "k" que é esta: k = (2)^[log₂ (a⁶ * b⁻²] será equivalente a:

k = a⁶ * b⁻² <--- Pronto. Esta é a resposta. Opção "d".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.