Question

Se 1 + f(x) + x²[f(x)]³ = 0 e f(1) =2, f'(1) = ?

Answer 1

$1+f(x)+x^{2}[f(x)]^{3}=0$


Derivando implicitamente os dois lados, em relação a $x,$

$\left(1+f(x)+x^{2}[f(x)]^{3} \right )'=0\\ \\ 0+f'(x)+\left(x^{2}[f(x)]^{3} \right )'=0\\ \\ f'(x)+(x^{2})'\cdot [f(x)]^{3}+x^{2}\cdot \left([f(x)]^{3} \right )'=0\\ \\ f'(x)+2x\cdot [f(x)]^{3}+x^{2}\cdot \left(3\,[f(x)]^{2}\cdot f'(x) \right )=0$


Utilizando a igualdade acima, para $x=1,$ temos

$f'(1)+2\cdot 1\cdot [f(1)]^{3}+1^{2}\cdot \left(3\,[f(1)]^{2}\cdot f'(1) \right )=0\\ \\ f'(1)+2\,[f(1)]^{3}+3\,[f(1)]^{2}\cdot f'(1)=0$


Substituindo acima os valores dados no enunciado, temos

$f'(1)+2\cdot 2^{3}+3\cdot 2^{2}\cdot f'(1)=0\\ \\ f'(1)+16+12\,f'(1)=0\\ \\ f'(1)+12\,f'(1)=-16\\ \\ 13\,f'(1)=-16\\ \\ \boxed{ \begin{array}{c} f'(1)=-\dfrac{16}{13} \end{array} }$