Question

Se 1 + f(x) + x 2 [f(x)]3 = 0 para todo x e f(1) = 2, encontre f 0 (1)

Answer 1

Resposta:

O valor de f'(1) é igual a -16/13.

Explicação passo a passo:

A equação dada no enunciado não parece estar correta, mas vamos supor que seja como abaixo:

$1 + f(x) + x^2 * [f(x)]}^3 = 0$

Derivando a expressão e supondo que f(x) seja diferenciável, obtemos, utilizando a regra da derivada do produto no último termo:

f'(x) + 2x*(f(x)^3) + x^2*3*f(x)^2*f'(x) = 0

Fatorando o termo f'(x) obtemos:

f'(x)*(1 + 3*x^2*f(x)^2) + 2x*f(x)^3 = 0

=> f'(x) = -2*x*f(x)^3 / (1 + 3*x^2f(x)^2)

Podemos agora calcular f'(1), usando o valor dado f(1) = 2:

f'(1) = -2*1*f(1)^3 / (1 + 3*1^2*f(1)^2)

f'(1) = -2*2^3 / (1 + 3*2^2)

f'(1) = -2*8 / (1+12)

f'(1) = -16/13