Question

Se 1, a e b são as raizes da função f(x) = x3 + 4x2 - 55x + 50, então 1 + a2 + b2 é igual a: a) 4 b) 50 c)55 d) 101 e) 126

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{e)~126}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, utilizaremos o Algoritmo prático de Briot-Ruffini.

Seja a equação de grau 3 de coeficientes reais $a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0$, tal que $a_3\neq 0$. Podemos dispor os coeficientes no algoritmo para que, ao testarmos uma das possíveis raízes do polinômio, encontremos um polinômio de grau menor, cujas soluções são o restante das raízes.

Sabemos que as soluções serão $1,~a~e~b$, logo

Dispomos os coeficientes no algoritmo da seguinte forma:

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~1~~~~4~~~~-55~~~~50}}\\~~~~1~~|~~~~1$

O processo consiste em replicarmos o primeiro coeficiente logo abaixo dele, como podemos ver acima. Então, multiplicamos este valor pela raiz e somamos ao próximo, até chegarmos ao último coeficiente. Logo teremos:

$\underset{\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}{~~x~~|~~~~1~~~~4~~~~-55~~~~50}}\\~~~~1~~|~~~\boxed{1~~~~5~~~~-50}~~~~0$

Os termos em destaque serão os coeficientes do polinômio de grau menor. Assim, as soluções serão encontradas ao resolvermos a seguinte equação quadrática:

$x^2+5x-50=0$

Aplicando a fórmula resolutiva, teremos:

$x=\dfrac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot1\cdot(-50)}}{2\cdot 1}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$x=\dfrac{-5\pm\sqrt{25+200}}{2}$

Some os valores

$x=\dfrac{-5\pm\sqrt{225}}{2}$

Ao decompormos o radical em fatores primos, obtemos $225=3^2\cdot 5^2$, logo

$x=\dfrac{-5\pm15}{2}$

Separe as soluções como $a$ e $b$, visto que estas são as raízes restantes da

Soequação de grau 3

$a=\dfrac{-5-15}{2}~~~\mathtt{ou}~~~b=\dfrac{-5+15}{2}$

Some os valores

$a=\dfrac{-20}{2}~~~\mathtt{ou}~~~b=\dfrac{10}{2}$

Simplifique as frações

$a=-10~~~\mathtt{ou}~~~b=5$

Dessa forma, como procurávamos o valor da expressão $1+a^2+b^2$, substituamos os valores encontrados:

$1+(-10)^2+5^2$

Calcule as potências

$1+100+25$

Some os valores

$126~~\checkmark$

Este é o valor da expressão que buscávamos e é a resposta contida na letra e).