Matemática, perguntado por ramoskauany19, 6 meses atrás

Se 1 – 3x, x – 2 e 2x+1 formam, nesta ordem, uma PA, calcule x e a razão da PA

Soluções para a tarefa

Respondido por Vulpliks
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Consideramos que:

a_1 = 1 - 3 \cdot x

a_2 = x - 2

a_3 = 2 \cdot x + 1

O termo geral da progressão pode ser escrito da seguinte maneira:

a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r

Onde:

a_n é o n-ésimo termo da progressão;

a_1 é o primeiro termo;

n é o número de termos e;

r é a razão da progressão.

Assim:

a_2 = a_1 + r

a_3 = a_1 + 2 \cdot r

Substituindo:

a_1 = 1 - 3 \cdot x

a_1 + r = x - 2

a_1 + 2 \cdot r = 2 \cdot x + 1

Temos três incógnitas (a_1, r\text{ e } x) e três equações. Um sistema possível e determinado.

Vou resolver por substituição.

Na segunda equação acima, substituo a_1 por 1 - 3 \cdot x:

1 - 3 \cdot x + r = x - 2

r = x + 3 \cdot x - 2 - 1

r = 4 \cdot x - 3

Na terceira equação eu substituo r por 4 \cdot x - 3 e a_1 por 1 - 3 \cdot x:

a_1 + 2 \cdot r = 2 \cdot x + 1

1 - 3 \cdot x + 2 \cdot (4 \cdot x - 3) = 2 \cdot x + 1

Resolvendo para x:

-3 \cdot x + 8 \cdot x - 2 \cdot x = 1 - 1 + 6

3 \cdot x = 6

x = \dfrac{6}{3}

\boxed{x = 2}

Com isso, conseguimos calcular r:

r = 4 \cdot x - 3

r = 4 \cdot 2 - 3

r = 8 - 3

\boxed{r = 5}

E também o primeiro termo:

a_1 = 1 - 3 \cdot x

a_1 = 1 - 3 \cdot 2

a_1 = 1 -6

a_1 = -5

Ou seja, o termo geral da P.A. será:

a_n = -5 + (n - 1) \cdot 5

E os três primeiros termos: -5, 0, 5.

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