Question

Se 0° < x < 90° e cos^(4)x - sen^(4)x = 7/25, então sen x será:
a) 4/5
b) 3/5
c) 2/5
d) 1/5
e) 1/10

Answer 1

Resposta:  b) 3/5.

Explicação passo a passo:

Tomemos a expressão do lado esquerdo da igualdade:

    $\cos^4 x-\mathrm{sen^4\,}x\\\\=(\cos^2 x)^2-(\mathrm{sen^2\,}x)^2\qquad\mathrm{(i)}$

Fatore a diferença entre os quadrados aplicando o produto notável abaixo

    $a^2-b^2=(a-b)\cdot (a+b)$

para $a=\cos^2 x$ e $b=\mathrm{sen^2\,}x.$ e a expressão (i) fica

    $=(\cos^2 x-\mathrm{sen^2\,}x)\cdot (\cos^2 x+\mathrm{sen^2\,}x)$

Mas pela relação trigonométrica fundamental, temos $\cos^2 x+\mathrm{sen^2\,}x=1.$ Logo, a expressão acima fica

    $=(\cos^2 x-\mathrm{sen^2\,}x)\cdot 1\\\\ =\cos^2 x-\mathrm{sen^2\,}x\qquad\mathrm{(ii)}$

Subtraia e some, 1 à expressão:

    $=\cos^2 x-\mathrm{sen^2\,}x-1+1\\\\=(\cos^2 x-1)-\mathrm{sen^2\,}x+1\\\\=-\,(1-\cos^2 x)-\mathrm{sen^2\,}x+1$

Substitua $1-\cos^2 x=\mathrm{sen^2\,}x:$

    $=-\,\mathrm{sen^2\,}x-\mathrm{sen^2\,}x+1\\\\=-\,2\,\mathrm{sen^2\,}x+1\qquad\mathrm{(iii)}$

Portanto, basta resolvermos a equação a seguir:

    $-\,2\,\mathrm{sen^2\,}x+1=\dfrac{7}{25}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad -\,2\,\mathrm{sen^2\,}x=\dfrac{7}{25}-1\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad -\,2\,\mathrm{sen^2\,}x=\dfrac{7-25}{25}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad -\,2\, \mathrm{sen^2\,}x=\dfrac{-18}{25}$

    $\Longleftrightarrow\quad \mathrm{sen^2\,}x=\dfrac{-18}{25}\cdot \dfrac{1}{-2}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \mathrm{sen^2\,}x=\dfrac{9}{25}\\\\\\ \Longrightarrow\quad \mathrm{sen\,}x=\dfrac{3}{5}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta:~alternativa~b).}$

pois como x é do 1º quadrante, o seno deve ser positivo.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos!