Question

Se 0 < a < b, mostre que a² < b² e √a < √b.

Answer 1

Sabemos que se c >0 e x < y então cx < cy. Vamos usar essa propriedade para mostrar a primeira desigualdade:

a < b ⇒ a² < ab   (pois a > 0)

a < b ⇒ ab < b²   (pois b > 0)

Unindo essas duas desigualdades temos a² < b²

Para a outra desigualdade basta notar que √a e √b são ambos positivos.

Assim, caso fosse  √b ≤ √a pela desigualdade que acabamos de provar teriamos:

√b ≤ √a ⇒  (√b)² ≤ (√a)² ⇒ b ≤ a

uma contradição. Logo,  √a < √b