Question

Se 0,aaa...= (0,bbb...)2, onde A e B são dígitos positivos, determine A e B.

Alguém pode me ajudar, por favor!!!

Answer 1

o,aaaa....  = a/9

(0,bbb....).2 = b/9 multiplicado por 2 2b/9.       Logo

a/9 = 2b/9, então   a = 2b
                              
Se a=2, então b = 1
Se a=4, então b = 2
Se a=6, então b = 3
Se a=8, então b = 4

qualque um desses valores satisfazem a igualdade 0,aaa... = (0,bbb...). 2    

Answer 2

Vamos lá

Thalia, estamos entendendo que a sua questão estaria escrita da seguinte forma, sendo "a" e "b" dígitos positivos:

0,aaa... =  (0,bbb...)²

Se for isso mesmo, então poderemos determinar "a" em função de "b", e determinar "b" em função de "a".

Então vamos trabalhar,  separadamente, com a primeira dízima e com a segunda. Depois, levaremos as frações geratrizes de cada uma delas para a expressão acima.

Vamos, portanto, por parte, tentando fazer tudo passo a passo, para um melhor entendimento.

i) trabalhando com a dízima períodica 0,aaa...
Inicialmente, vamos igualar essa dízima a um certo "x". Assim, teremos:

x = 0,aaaaaa..... ----- vamos multplicar "x" por "10", ficando:

10*x = 10*0,aaaaa....
10x = a,aaaa.....

Agora subtrairemos , membro a membro, "x" de "10x". Assim:

10x = a,aaaaa........
- x =  0,aaaaa.....
----------------------- subtraindo membro a membro, teremos:
9x = a,000000...ou, apenas:

9x = a
x = a/9 <--- Esta é a fração geratriz da dízima periódica 0,aaaaa......

ii) Vamos fazer a mesma coisa com a segunda dízima:

x = 0,bbbbb......----multiplicando por "10", temos:

10*x = 10*0,bbbb....
10x = b,bbbbbb.....

Subtraindo "x" de "10x", membro a membro, teremos:

10x  = b,bbbbbb....
-  x = -0,bbbbbbb....
--------------------------------- subtraindo membro a membro, teremos:
9x = b,000000...--- ou  apenas:
9x = b
x = b/9 <--- Esta é a fração geratriz da dízima 0,bbbbb...

iii) Agora vamos levar as duas frações geratrizes para a expressão inicial. Assim:

a/9 = (b/9)² ----  desenvolvendo o  2º  membro, temos:

a/9 = b²/81 ---- isolando "a", teremos:
a = b²/81*9
a =  b²/729 <----Este bé o valor de "a" em função de "b"

Agora vamos encontrar o valor de "b" em função de "a".
Para isso, vamos na igualdade acima, que é:

a = b²/729 ------ multiplicando em cruz, teremos:
729*a = b² -----ou, o que é a mesma coisa:

b² = 729a
b = +-√(729a) ---- veja qye 729 = 3⁶  = 3² * 3². *  3² Logo:
b = +- √(3².3².3².a) --- veja que os "3", por estarem ao quadrado, sairão de dentro da raiz, ficando assim:

b = +-3*3*3√(a)---- ou:
b =  +-  27√(a )  -------como já vimos que os dígitos s]ao positivos, então teremos que:

b  = 27√(a) <--- Este é valor de "b" em função de "a".

iv) Assim, resumindo, teremos que:

a = b²/729
b = 27√(a) . 

Portanto, na falta de outras informações, determinamos"a" e "b", mas um em função do outro

OK?
Adjemir.