Question

Sas trigonometria seno e cosseno (foto)
explicação plz​

Answer 1

A área de CDB é igual à área do triângulo maior ABC menos a área do triângulo menor ABD:

$A_{CDB} = A_{ABC} - A_{ABD}$

A área de ABD é fácil de calcular, pois sabemos os valores da sua base (DA = √3 cm) e de sua altura (AB = 3 cm), e também sabemos que a área de um triângulo é dada por:

$A = \frac{b \times h}{2}$

Onde b é o comprimento da base e h é a altura do triângulo. Então a área de ABD é:

$A_{ABD} = \frac{\sqrt3 \times 3}{2} = \frac{3}{2}\sqrt3\ cm^2$

Agora para a área do triângulo maior, ABC. Precisamos descobrir o tamanho da sua base, AC. Se olharmos para o triângulo ABD, temos a seguinte informação sobre a tangente (oposto sobre adjacente) do ângulo 2θ:

$\tan{2\theta} = \frac{AB}{AD} = \frac{3}{\sqrt3} = \sqrt3$

Se você se lembrar dos ângulos notáveis, vai perceber que a tangente de 60º resulta em √3. Isso quer dizer que:

$2\theta = 60^\circ \longrightarrow \theta = 30^\circ$

Olhando para o triângulo ABC, vemos que ele tem um ângulo θ, ou 30º. Sabendo que AB vale 3 cm, e sabendo que a tangente de 30º é √3 ÷ 3, temos:

$\frac{\sqrt3}{3} = \frac{3}{AC}\\\\AC = \frac{9}{\sqrt3}\\\\AC = 3\sqrt3\ cm$

Agora que temos a base de ABC, podemos calcular sua área:

$A_{ABC} = \frac{3\sqrt3 \times 3}{2} = \frac{9}{2}\sqrt3\ cm^2$

Como já temos as áreas de ABC e ABD, podemos calcular a área de CDB:

$A_{CDB} = \frac{9}{2}\sqrt3 - \frac{3}{2}\sqrt3 = \frac{6}{2}\sqrt3 = 3\sqrt3\ cm^2$

Logo, a alternativa correta é a letra D.

ATUALIZAÇÃO:

Você me pediu pra resolver isso por lei dos senos e dos cossenos nos comentários. Vou tentar usar onde for possível. Vamos voltar pra antes de você calcular a área de ABD, e em vez disso vamos calcular o valor da hipotenusa desse triângulo:

$BD = \sqrt{(AD)^2 + (AB)^2} = \sqrt{\sqrt3^2 + 3^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt3$

A lei dos senos nos diz que as razões entre os lados do triângulo e os seus ângulos opostos são iguais umas às outras. No caso do triângulo CDB, o lado BD é oposto ao ângulo θ, e o lado BC é oposto ao ângulo 180º - 2θ. Isso nos dá a seguinte expressão:

$\frac{BD}{\sin\theta} = \frac{BC}{\sin(180^{\circ} - 2\theta)}$

Se você voltar à minha resposta original, lá eu explico como encontrar o θ. Aplicando o valor descoberto à expressão, ficamos com o seguinte:

$\frac{2\sqrt3}{\sin(30^{\circ})} = \frac{BC}{\sin(120^{\circ})}\\\\BC = \frac{2\sqrt3}{\sin(30^{\circ})} \times \sin(120^{\circ})\\\\BC = 4\sqrt3 \times \frac{\sqrt3}{2} = 6\ cm$

E o lado CD? Você pode determiná-lo pensando nos ângulos do triângulo: Você tem um ângulo de 30º e um de 120º. Isso quer dizer que o último ângulo tem que ter 30º. Ou seja, o triângulo CDB é um triângulo isósceles, pois tem dois ângulos iguais que definem dois lados iguais. Então CD = BD = 2√3 cm.

Você pode calcular a área de CDB independentemente usando a fórmula de Heron. É assim:

$\sqrt{p(p - BD)(p - CD)(p - BC)}$

Onde p é o semiperímetro do triângulo (metade do perímetro). Então:

$p = \frac{2 \times 2\sqrt3 + 6}{2} = 2\sqrt3 + 3$

Substituindo tudo na fórmula:

$A_{CDB} = \sqrt{(2\sqrt3 + 3)(2\sqrt3 + 3 - 2\sqrt3)(2\sqrt3 + 3 - 2\sqrt3)(2\sqrt3 + 3 - 6)}\\\\A_{CDB} = \sqrt{(2\sqrt3 + 3)(3)(3)(2\sqrt3 - 3)}\\\\A_{CDB} = \sqrt{(18\sqrt3 + 27)(2\sqrt3 - 3)}\\\\A_{CDB} = \sqrt{36 \times 3 - 54\sqrt3 + 54\sqrt3 - 81}\\\\A_{CDB} = \sqrt{108 - 81} = \sqrt{27} = \sqrt{3 \times 3 \times 3} = 3\sqrt3\ cm^2$

Como dá pra ver, a resolução por essas leis acaba sendo mais chatinha do que o método de calcular o triângulo maior e subtrair o menor. E eu não usei a lei dos cossenos justamente por o triângulo ser um triângulo isósceles. Mas se você quiser uma versão usando a lei dos cossenos...

A lei dos cossenos pode ser usada pra determinar CD. O que essa lei diz é que qualquer lado c de um triângulo pode ser encontrado pela fórmula:

$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos\phi$

Onde a e b são os outros lados do triângulo e Ф é o ângulo oposto ao lado que você quer determinar. Como já expliquei, Ф = 30º. Então você fica com:

$c = \sqrt{(2\sqrt3)^2 + 6^2 - 2(2\sqrt3)(6) \cdot \cos30^{\circ}}\\\\c = \sqrt{12 + 36 - 24\sqrt3\cdot \frac{\sqrt3}{2}}\\\\c = \sqrt{48 - 36} = \sqrt{12} = \sqrt{2 \times 2 \times 3} = 2\sqrt3$

Confirmando o que eu disse sobre o triângulo ser isósceles. Aí você pode aplicar isso na fórmula de Heron.