Question

são raízes REAIS da equação x^{4} - 3 x^{2} - 40 = 0

Answer 1

x⁴ - 3x² - 40 = 0
(x²)² - 3x² - 40 = 0

Vamos substituir x² por y.

(x²)² - 3x² - 40 = 0
y² - 3y - 40 = 0

a = 1
b = -3
c = -40

Δ = b² - 4ac = (-3)² + 4 * 1 * (-40) = 9 + 160 = 169

y' = (-b + √Δ) / 2a = (-(-3) + √169) / (2 * 1) = (3 + 13) / 2 = 16 / 2 = 8
y'' = (-b - √Δ) / 2a = (-(-3) - √169) / (2 * 1) = (3 - 13) / 2 = (-10) / 2 = -5

Agora, vamos retomar a igualdade x² = y, assim teremos:

x² = y'
x² = 8
x' = √8 = 2√2
e
x'' = -√8 = -2√2

e

x² = y''
x² = -5
x''' = √(-5) ∉
e
x'''' = -√(-5) ∉

Como não existe raiz quadrada de número negativo, x''' e x'''' não são solução da equação. Portanto, apenas x' = 2√2 e x'' = -2√2 são solução da equação.