São duas as parábolas que passam tanto pelo ponto (0,4) quanto pelo ponto (1,1) e tangenciam os eixos das abscissas. Determine as coordenadas dos vértices dessas duas parábolas.
Soluções para a tarefa
Resposta:
y= 9.x^2 - 12.x + 4
y= x^2 - 4.x + 4
Explicação passo-a-passo:
Temos que a parábola passa pelos pontos (0,4), (1,1), e tangencia o eixo das abscissas (eixo x), ou seja, as 2 raízes x' e x'' são a mesma.
Logo, sendo y= a.x^2 + b.x + C (equação da parábola), temos:
Para (0,4): a.0^2 + b.0 + c = 4, ou seja, c= 4
Para (1,1): a.1^2 + b.1 + c = 1
a + b + c = 1
Substituindo c:
a + b + 4 = 1
a + b = -3
Usando as Relações de Girardi, temos:
x' + x'' = -b/a
x' . x'' = c/a
Como x' = x'' = x, é substituindo c, temos:
x + x = -b/a
x.x = 4/a
2x= -b/a
x^2= 4/a
Na 1a. Equação, x= -b/2a. Substituindo x na 2a. Equação, temos:
(-b/2a)^2 = 4/a
((-b)^2)/(4.a^2) = 4/a
b^2 = 16.(a^2)/a
b^2= 16.a
b= raiz(16.a)
b= 4.raiz(a)
Como a + b = -3, temos:
a + 4.raiz(a) = -3
4.raiz(a) = -3 -a
(4.raiz(a))^2 = (-(3+a))^2
16.a = 9 + 6a + a^2
a^2 + 6a + 9 - 16a = 0
a^2 - 10a + 9 = 0
a= (10 +/- raiz((-10)^2 - 4.1.9))/(2.1)
a= (10 +/- raiz(100 - 36))/2
a= (10 +/- raiz(64))/2
a= (10 +/- 8)/2
a'= (10+8)/2 = 9
a''= (10-8)/2 = 1
Logo, como b= 4.raiz(a):
Para a'=9, b'=4.raiz(9) => 4.(+/-3) => +/- 12
Para a''=1, b''=4.raiz(1) => 4.(+/-1) => +/- 4
Sendo c=4, temos entao as seguintes equações como solução do problema:
y= 9.x^2 + 12.x + 4
y= 9.x^2 - 12.x + 4
y= x^2 + 4.x + 4
y= x^2 - 4.x + 4
Verificando as equações (substituindo os pontos e checando os resultados), as únicas válidas são:
y= 9.x^2 - 12.x + 4
y= x^2 - 4.x + 4
Blz?
Abs :)