Question

São dados V1=(3,2,2) e V2=(18,–22,–5), determine um vetor V, que seja ortogonal á V1 e a V2, tal que forme com o eixo OY um ângulo obtuso e que ||V|| = 28.

Resposta: V= (-8;-12;24).

Desde já agradeço.

Answer 1

Como $\vec{v}$ é ortogonal a $\vec{v_{1}}$ e a $\vec{v_{2}}$ simultaneamente, sabemos que $\vec{v}$ é múltiplo do produto vetorial entre $\vec{v_{1}}$ e $\vec{v_{2}}$

Achando o produto vetorial entre os vetores:

$\vec{v_{1}}\times\vec{v_{2}}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&~~\vec{j}&~~\vec{k}\\3&~~2&~~2\\18&-22&-5\end{array}\right|\\\\\\\vec{v_{1}}\times\vec{v_{2}}=-10\vec{i}+36\vec{j}-66\vec{k}+44\vec{i}+15\vec{j}-36\vec{k}\\\\\vec{v_{1}}\times\vec{v_{2}}=34\vec{i}+51\vec{j}-102\vec{k}\\\\\vec{v_{1}}\times\vec{v_{2}}=(34,51,-102)$

Sabemos, portanto, que $\vec{v}=\alpha(34,51,-102),~\alpha\in\mathbb{R}$

Vamos encontrar a norma de (34,51,-102):

$||(34,51,-102)||=\sqrt{34^{2}+51^{2}+(-102)^{2}}\\\\||(34,51,-102)||=\sqrt{1156+2601+10404}\\\\||(34,51,-102)||=\sqrt{14161}\\\\||(34,51,-102)||=\sqrt{119^{2}}\\\\\boxed{\boxed{||(34,51,-102)||=119}}$

Agora acharemos o módulo de α, sabendo que

$||\vec{v}||=||\alpha(34,51,-102)||\\\\||\vec{v}||=|\alpha|\cdot||(34,51,-102)||\\\\28=|\alpha|\cdot119~~~(\div7)\\\\4=|\alpha|\cdot17\\\\\boxed{\boxed{|\alpha|=\dfrac{4}{17}}}$

Basta sabermos se α é positivo ou negativo, e descobriremos isso sabendo que $\vec{v}$ tem ângulo obtuso com o eixo Oy

Se $\vec{v}$ forma ângulo obtuso com o eixo y, ele forma o mesmo ângulo com qualquer vetor na direção de Oy, ou seja, forma esse ângulo, que denotaremos por θ, com o vetor $\vec{e_{2}}=(0,1,0)$

Daí, como θ é obtuso, cos(θ) < 0:

$cos(\theta)=\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{e_{2}}}{||\vec{v}||||\vec{e_{2}}||}~\textless~0\\\\\\\dfrac{\alpha(34,51,-102)\cdot(0,1,0)}{|\alpha|\cdot119\cdot\sqrt{0^{2}+1^{2}+0^{2}}}~\textless~0\\\\\\\dfrac{\alpha(34\cdot0+51\cdot1-102\cdot0)}{|\alpha|\cdot119\cdot1}~\textless~0\\\\\\\dfrac{51\alpha}{|\alpha|\cdot119}~\textless~0$

Como 51, |α| e 119 são números positivos, devemos ter $\alpha~\textless~0$, logo:

$\alpha=-\dfrac{4}{17}$

Finalmente, encontramos o vetor $\vec{v}$:

$\vec{v}=-\frac{4}{17}(34,51,-102)\\\\\vec{v}=-\frac{4}{17}\cdot17(2,3,-6)\\\\\vec{v}=4(-2,-3,~6)\\\\\boxed{\boxed{\vec{v}=(-8,-12,~24)}}$