Question

São dados quatro números positivos: 12, X, Y, 4. Sabendo que os três primeiros estão em PA e os três últimos estão em PG, achar X e Y.

Answer 1

PA   x-12=y-x      2x=y+12    y=2x-12  A  

PG   y/x=4/y       y²=4x        x=y²/4   B

B em A   y=2.y²/4 -12      y²-2y-24=0   Δ=100  √Δ=10

y'=(2-10)/2=-4     y"=(2+10)/2=6
x'= 4                    x"=9

X=4 e 9     

Y=-4 e 6

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Bia, que é simples.
Tem-se que os quatro números da sequência abaixo são todos positivos:

(12; x; y; 4).

Sobre essa sequência sabe-se que: os três primeiros números (12; x; y) estão em PA, enquanto os três últimos números (x; y; 4) estão em PG.
Sabendo-se disso, são pedidos os valores de "x" e de "y".

Bem, agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Se os três primeiros números (12; x; y) estão em PA, então a razão (r) entre eles é constante e é encontrada pela subtração de cada termo antecedente do seu respectivo consequente. Assim, teremos que:

y - x = x - 12 ---- passando "-x" para o 2º membro, teremos:
y = x - 12 + x ---- reduzindo os termos semelhantes no 2º membro, temos:
y = 2x - 12      . (I)

ii) Se os três últimos termos (x; y; 4) estão em PG, então a razão (q) entre eles é constante e é encontrada pela divisão de cada termo consequente pelo seu respectivo antecedente. Assim:

4/y = y/x ----- multiplicando em cruz, teremos:
4*x = y*y
4x = y² ---- vamos apenas inverter, ficando:
y² = 4x      . (II)

iii) Agora veja que ficamos com um sistema formado pelas expressões (I) e (II), e que são estas:

y = 2x - 12    . (I)
e
y² = 4x      . (II)

Vamos fazer o seguinte: vamos na expressão (II), e, no lugar de "y", colocaremos "2x-12", conforme vimos na expressão (I).
Vamos apenas repetir a expressão (II), que é esta:

y² = 4x ----- substituindo "y" por "2x-12", conforme vimos na expressão (I), teremos:

(2x-12)² = 4x ---- desenvolvendo, teremos:
4x² - 48x + 144 = 4x ---- passando "4x" para o 1º membro, teremos:
4x² - 48x + 144 - 4x = 0 --- reduzindo os termos semelhantes, temos:
4x² - 52x + 144 = 0 ---- Para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "4", com o que ficaremos assim:

x² - 13x + 36 = 0 ----- aplicando Bháskara, você vai encontrar as seguintes raízes:

x' = 4
x'' = 9

Agora veja que encontramos que "x" poderá ser "4" ou "9".
Para encontrarmos o valor de "y", deveremos ir na expressão (I), que é esta:

y = 2x - 12

Para x = 4, teremos:

y = 2*4 - 12
y = 8 - 12
y = - 4

Mas veja que o enunciado da questão fala que todos os termos da sequência dada são positivos. Logo, "x" não poderá ser igual a "4",  pois, assim, iríamos encontrar um valor negativo para "y".
Assim, "x" será, necessariamente, igual a "9" (que é o valor da outra raiz). E, nesse caso, "y" será, aplicando novamente a expressão (I), que é esta:

y = 2x - 12 ---- substituindo "x' por "9", teremos:
y = 2*9 - 12
y = 18 - 12
y = 6 <---- Este deverá ser o valor de "y", para x = 9.

iv) Assim, os valores de "x" e de "y" serão:

x = 9 e y = 6 <--- Esta é a resposta.

Apenas pra você ter uma ideia, veja que se "x" = 9 e "y" = 6, a sequência ficaria sendo esta: (12; 9; 6; 4) <--- E veja que é verdade, que os três primeiros termos formam uma PA de razão "-3", pois: 6-9 = 9-12 = -3.
E os três últimos termos formam uma PG de razão (2/3), pois: 4/6 = 6/9 = 2/3.

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.