Question

São dados os vértices A(2,y), B(1,-4) e C(3, -1). Qual deve ser o valor de y para que o triangulo ABC seja retângulo em B?

Answer 1

Resolvendo por álgebra linear:

Seja o triângulo ABC retângulo em B. Seus lados são AB, BC e AC, que são, respectivamente, os módulos dos vetores $\vec{AB},~\vec{BC}~e~\vec{AC}$

AB e BC são os catetos do triângulo. Achando os vetores $\vec{AB}$ e $\vec{BC}$:

$\vec{AB}=B-A=(1,-4)-(2,~y)=(1-2,-4-y)=(-1,-4-y)\\\vec{BC}=C-B=(3,-1)-(1,-4)=(3-1,-1-[-4])=(2,~3)$

Como o triângulo é retângulo, o produto escalar entre esses vetores deve ser zero.

$\vec{AB}\cdot\vec{BC}=0\\(-1,-4-y)\cdot(2,~3)=0\\(-1)\cdot2+(-4-y)\cdot3=0\\-2-12-3y=0\\-14-3y=0\\-3y=14\\3y=-14\\\\\\\boxed{\boxed{y=-\dfrac{14}{3}}}$