Question

são dados os pontos A(2,Y) , B(1,-4) e C(3,-1) . Qual será o valor de Y para que o triângulo ABC seja retângulo em B ?

Answer 1

Oi Lara,

Para esse triângulo ser retângulo em B, teremos:
BA = Cateto
BC = Cateto
AC = Hipotenusa

Com isso, vale a relação de Pitágoras:
AC² = BA² +BC²

Como não temos nenhum valor dos catetos ou hipotenusa desse triângulo, mas temos os pontos de origem, podemos descobrir seus valores através da distância entre dois pontos "z" e "w", dada por:
$ZW= \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$

Onde Δx e Δy representam respectivamente a variação dos pontos de abcissa e ordenada entre esses dois pontos z e w. Dessa forma, vamos calcular as medidas BA, BC e AC:
$BA = \sqrt{(1-2)^2+(-4-y)^2} = \sqrt{1+(4+y)^2} \\ \\ BC = \sqrt{(1-3)^2+(-4+1)^2}= \sqrt{4+9} \\ \\ AC = \sqrt{(2-3)^2+(y+1)^2}= \sqrt{1+(y+1)^2}$

Com esses valores, podemos substituir na relação da Pitágoras:
$(\sqrt{1+(y+1)^2})^2=(\sqrt{1+(4+y)^2})^2+(\sqrt{4+9})^2 \\ \\ 1+(y+1)^2=1+(4+y)^2+13 \\ \\ -13=(4+y)^2-(y+1)^2 \\ \\ -13 = 16+8y+y^2-(y^2+2y+1) \\ \\ -13 = 16+8y+y^2-y^2-2y-1 \\ \\ -13 = 6y+15 \\ \\ -28 = 6y \\ \\ y = - \frac{28}{6}= \boxed{- \frac{14}{3} }$

Logo, y deve valer -14/3.

Bons estudos!