Question

São dados 3 números inteiros em progressão geométrica cuja soma é 26. Determine esses números, sabendo que o primeiro, o dobro do segundo e o triplo do terceiro formam uma progressão aritmética.

A resposta tem que ser: (18,6,2).

Answer 1

Seja a PG de três termos dada por

$PG=(a_1,\,a_1\cdot q,\, a_1\cdot q^2)$

Do enunciado sabemos que

$a_1+a_1\cdot q+a_1\cdot q^2=26$

Ainda do enunciado temos que o primeiro, o dobro do segundo e o triplo do terceiro formam uma progressão aritmética, então montamos também a seguinte PA

$PA=(a_1,\,2a_1\cdot q,\,3a_1\cdot q^2)$

Como em uma PA a média dos temos dos extremos é igual ao termo do meio, aplicamos isso a PA obtida, logo

$\dfrac{a_1+3a_1\cdot q^2}{2}=2a_1\cdot q\\\\\\\dfrac{a_1(1+3q^2)}{2}=2a_1\cdot q$

Perceba que o $a_1$ aparece em todos os termos da PA e da PG, então temos que $a_1\neq0$, podemos então simplificar o $a_1$ em ambos os lados da equação, segue que

$\dfrac{1+3q^2}{2}=2q\\\\\\\Rightarrow 1+3q^2=4q\\\\\\\Rightarrow 3q^2-4q+1=0$

Ao resolvermos a equação do segundo grau em q, obtemos como solução

$q=\dfrac{1}{3}$ e $q=1$

Caso q=1, então

$a_1+a_1\cdot1+a_1\cdot1^2=26\\\\\\\Rightarrow 3a_1=26\\\\\\\Rightarrow a_1=\dfrac{26}{3}$

Porém os números formados pela PA e PG são números inteiros e esse não é um número inteiro, logo q=1 não serve

Caso $q=\dfrac{1}{3}$, então obtemos o primeiro termo

$a_1+a_1\cdot\dfrac{1}{3}+a_1\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=26\\\\\\\Rightarrow a_1+a_1\cdot\dfrac{1}{3}+a_1\cdot \dfrac{1}{9}=26\\\\\\\Rightarrow \dfrac{9a_1+3a_1+a_1}{9}=26\\\\\\\Rightarrow 13a_1=9\cdot26\\\\\\\Rightarrow 13a_1=234\\\\\\\Rightarrow a_1=\dfrac{234}{13}\\\\\\\Rightarrow a_1=18$

O segundo termo vale

$a_2=a_1\cdot q\quad\mbox{para}\,\,\,a_1=18\,\,\,\mbox{e}\,\,\,q=\dfrac{1}{3}\\\\\\\Rightarrow a_2=18\cdot\dfrac{1}{3}\\\\\\\Rightarrow a_2=6$

O terceiro termo vale

$a_3=a_1\cdot q\quad\mbox{para}\,\,\,a_1=18\,\,\,\mbox{e}\,\,\,q=\dfrac{1}{3}\\\\\\\Rightarrow a_3=18\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^2\\\\\\\Rightarrow a_3=18\cdot\dfrac{1}{9}\\\\\\\Rightarrow a_3=2$

Por fim os três números são

$\Huge{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{18,\,6,\,2}}}}}$

Para saber mais: https://brainly.com.br/tarefa/38413948