Question

São dadas duas retas distintas e paralelas. Sobre a primeira marcam-se 9 pontos e sobre a segunda marcam-se 7 pontos. Obter:
a) O número de retas ligando dos dois pontos marcados.
b) O número de triângulos com vértices nos pontos marcados.
c) O número de quadrilateros convexos com vertices nos pontos marcados.

Answer 1

=> QUESTÃO (a): O número de retas ligando dois dos pontos marcados.

..para definir uma reta são necessários 2 pontos ..assim

O número (N) de retas ligando 2 dos pontos será dado por:

N = C(16,2) -. C(9,2) - C(7,2) + 2

...note que temos de retirar todas as combinações de 2 pontos em cada reta ...pois todos eles dizem respeito á mesma reta ..e por esse motivo temos de adicionar essas 2 retas na nossa equação

Resolvendo:

N = (16!/2!14!) -.(9!/2!7!) - (7!/2!5!) + 2

N = (16.15.14!/2!14!) -.(9.8.7!/2!7!) - (7.6.5!/2!5!) + 2

N = (16.15/2!) -.(9.8/2!) - (7.6/2!) + 2

N = (240/2) -.(72/2) - (42/2) + 2

N = (120) -.(36) - (21) + 2

N = 63 + 2

N = 65 retas <--- número pedido


=> QUESTÃO (b): O número de triângulos com vértices nos pontos marcados. 

Para definirmos um triângulo necessitamos de 3 pontos

Assim podemos resolver este exercício de 2 formas diferentes:

--> Calculando todas as combinações possíveis de 3 pontos possíveis de fazer com os 16 pontos das 2 retas donde resultará C(16,3) ..subtraindo depois as combinações de 3 pontos de cada reta ...ou seja subtraindo C(9,3) e C(7,3) 

--> Calculando todas as combinações de 2 pontos de uma reta com as combinações de 1 ponto da outra reta e somá-las ...ou seja C(9,2).C(7,1) + C(9,1).C(7,2)

Vamos resolver pela 1ª forma:

Assim teremos: 

N = C(16,3) - C(9,3) - C(7,3)

N = (16!/3!(16-3)!) - (9!/3!(9-3)!) - (7!/3!(7-3)!)

N =  (16!/3!13!) - (9!/3!6!) - (7!/3!4!)

N =  (16.15.14.13!/3!13!) - (9.8.7.6!/3!6!) - (7.6.5.4!/3!4!)

N =  (16.15.14/3!) - (9.8.7/3!) - (7.6.5/3!)

N =  (16.15.14/6) - (9.8.7/6) - (7.6.5/6)

N = (560) - (84) - (30)

N = 450 <--- número de triângulos possíveis de formar


=> QUESTÃO (c) O número de quadriláteros convexos com vértices nos pontos marcados.

seguindo os raciocínios anteriores temos de "combinar todos "grupos de 2 pontos de uma reta ..com os "grupos" de 2 pontos da outra reta..ou seja

N = C(9,2) . C(7,2)

N = (9!/2!7!) . (7!/2!5!)

N = (9.8.7!/2!7!) . (7.6.5!/2!5!)

N = (9.8/2!) . (7.6/2!)

N = (72/2) . (42/2)

N = 36 . 21

N = 756 <-- número de quadriláteros


Espero ter ajudado