Question

São dadas as seguintes funções do 2° grau:
b) f(x)=x²+x-12
c) f(x)=4x²-12x+9
d) f(x)=3x²+4x+5
f) f(x)=-3x²+6
g) f(x)=x-2x²
A)Determine os coeficientes a,b e c. Indique tambem se a parábola tera concavidade voltada para baixo ou para cima

B)Calcule o discriminante, ou seja, o valor de Δ=b²-4ac.Indique tambem se a função tera duas raizes reais distintas,uma unica raiz real ou não tera raizes real.

C)Calcule se existirem as raizes da função.

D)Determine as coordenadas do vértice da parábola. Ou seja Xv e o Yv . Indique também se a função terá ponto de um máximo ou um de minimo.

Answer 1

A)
Primeiramente, o que representa cada coeficiente (a, b, c)...

a (número que multiplica x²)
b (número que multiplica x)
c (termo independente "livre")
Para que a concavidade seja voltada para cima, o número que multiplica x², ou seja "a" deve ser positivo. (a>0) E quando for negativo (a<0) a concavidade é voltada para baixo.

Analisemos cada função:
b) f(x)=x²+x-12
Nessa função temos que:
a = 1 (número que multiplica x²)
b = 1 (número que multiplica x)
c = 12 (termo independente, sem incógnita)
a>0 Concavidade Para Cima

c)f(x)=4x²-12x+9
a = 4 (número que multiplica x²)
b = -12 (número que multiplica x)
c = 9 (termo independente, sem incógnita)
a>0 Concavidade Para Cima

d) f(x)=3x²+4x+5
a = 3 (número que multiplica x²)
b = 4 (número que multiplica x)
c = 5 (termo independente, sem incógnita)
a>0 Concavidade Para Cima

f) f(x)=-3x²+6
 f(x)=-3x²+ 0x +6
a = -3 (número que multiplica x²)
b = 0 (número que multiplica x) "0x"
c = 6 (termo independente, sem incógnita)
a<0 Concavidade Para Baixo

g) f(x)=x-2x²
f(x)=-2x² + x +0
a = -2 (número que multiplica x²)
b = 1 (número que multiplica x)
c = 0 (termo independente, sem incógnita) "0"
a<0 Concavidade Para Baixo

B)
Calculemos o discriminante e verifiquemos a quantia de raízes reais:
Se Δ>0 Existem Duas Raízes Reais
Se Δ = 0 Existem duas raízes reais de mesmo valor.
Se Δ< 0 Não existem raízes reias

Δ = b² -4ac
b)f(x)=x²+x-12
Δ = (1)² -4.(1).(-12)
Δ = 1 + 24
Δ = 25
Existem Duas Raízes Reais Distintas Δ>0

c)
Δ =(-12)² - 4. (4). (9) 
Δ =144 -  144
Δ = 0
Existem duas raízes reais de mesmo valor. Δ = 0

d)
Δ = (4)² - 4.(3).(5)
Δ= 16 - 60
Δ = -44
Não há raízes reais  Δ<0

f)
Δ = (0)² -4.(-3).(6)
Δ = 0 + 72
Δ =72
Há duas raízes reais distintas Δ>0

g)
Δ = (1)² - 4.(-2) . (0)
Δ = 1
Há duas raízes reais distintas:  Δ>0

C)
b)
x = -b ± √Δ
     ------------
           2a

x = -1 ± √25
     ------------
           2.1


x1 = -1 + 5
     ------------
           2

x1 = 2


x2 = -1 - 5
     ------------
           2

x2 = -3

Raízes são: 2 e -3


c)
x = -b ± √Δ
     ------------
           2a

x = +12 ± √0
     ------------
           2.4

x = +12 ± 0
     ------------
           8

x1 e x2 =  +12 
                  ------------
                      8 

x1 = x2 = 3/4 = 0,75
A raiz vale 0,75.

d) Não há raízes reais...

f)
x = -0 ± √72
     ------------
           2. -3

 x = ±√2.2.2.3.3
     ------------
            -6

 x = ± 6√2
     ------------
            -6

x1 = √2
x2 = -√2


g)
x = -1 ± √1
     ------------
           2.(-2)

x = -1 ± 1
     ------------
           -4

x1 = (-1 +1)/-4 = 0
x2 - (-1 -1)/-4 = -2/-4 = 1/2 = 0,5

D)
Fórmulas:
x do vértice:
 -b
 ------
   2a             

y do vértice:
 -Δ
 ------
   4a             

Os pontos de máximo e de mínimo também são determinados pelo "a" da função. Se "a" for positivo terá ponto de mínimo, "a" negativo, ponto de máximo.

b)
 -1
 ------
   2.1

-1
-----
  2

-0,5 = x do vértice.

 -25
 ------
   4.1      


-25
------
  4

-6,25 = y do vértice

c)
 -(-12)
 ------
   2.4

 +12
 ------
   8 
0,75 = x do vértice

    0
 ------
  4. 4

0 = y do vértice

d)
 -4
 ------
   2.3

-4
-----
6

-2
-----
3

-0,666... = x do vértice

  -44
 ------
   4.3

 -44
 ------
   12

-11
----
  3

-3,666... y do vértice.

f)
 -0
 ------
   2.-3

0 = x do vértice

 -72
 ------
   4.-3

 -72
 ------
   -12

+6 = y do vértice

g)
 -1
 ------
   2.-2

 -1
 ------
  -4

+0,25 = x do vértice

   1
 ------
   4.-2

    1
 ------
   -8 

-0,125 = y do vértice

b)PONTO DE MÍNIMO (a>0)
c)PONTO DE MÍNIMO (a>0)
d)PONTO DE MÍNIMO (a>0)
f)PONTO DE MÁXIMO (a<0)
g)PONTO DE MÁXIMO (a<0)