Question

São dadas as retas r, s e t, de equações x−2y+3 = 0, 2x+y+1 = 0 e x−y = 0, respectivamente.
Escreva a equação geral da reta u, paralela a reta t e que contem o ponto de interseção de r e s.

Answer 1

A reta u tem forma reduzida y = ax + b, onde "a" é o coeficiente angular e "b" é o coeficiente linear. Para descobrirmos a equação da reta u, precisamos descobrir os valores de "a" e "b".

Se a reta u é paralela à reta t, então os coeficientes angulares delas são iguais.

Vamos escrever a reta t na forma y = ax + b:

t: x - y = 0

x - y = 0

y = x

Se compararmos t: y = x com a forma y = ax + b, percebemos que a = 1 e b = 0 para a reta t, ou seja, o coeficiente angular da reta t é 1. Logo, o coeficiente angular da reta u também é 1.

Sabemos também que a reta u u contém o ponto onde as retas r e s intersectam. Vamos encontrar esse ponto igualando as retas r e s.

Temos:

r: x - 2y + 3 = 0

x - 2y + 3 = 0

x + 3 = 2y

y = (x + 3)/2

s: 2x + y + 1 = 0

2x + y + 1 = 0

y = -2x - 1

Igualando:

(x + 3)/2 = -2x - 1

x + 3 = 2(-2x - 1)

x + 3 = -4x - 2

x + 4x = -2 - 3

5x = -5

x = -5/5

x = -1

Portanto, as retas r e s se encontram num ponto (-1, y). Para encontrar o valor de "y", basta substituir x = -1 na equação de qualquer uma das retas:

y = (x + 3)/2

y = (-1 + 3)/2

y = 2/2

y = 1

ou

y = -2x - 1

y = -2(-1) - 1

y = 2 - 1

y = 1

Logo, as retas r e s se encontram no ponto (-1, 1).

Voltando à reta u, agora sabemos que ela possui coeficiente angular 1 e passa pelo ponto (-1, 1). Logo:

y = ax + b

1 = 1.(-1) + b

1 = -1 + b

b = 2

Portanto, a reta u tem coeficiente angular 1 e coeficiente linear 2, e a equação reduzida dela é:

y = ax + b

y = x + 2

A equação geral da reta u pode ser encontrada deixando o lado direito da equação vazio:

y = x + 2

y - x - 2 = 0