São dadas A={1,2,3,4} e B={x,y,z}. Seja R a seguinte redação de A para B:R={(1,y),(1,z) (3,y) (4,x) (4,3)}. Determine a matriz da relação. Desenhe o diagrama de setas de R.
Soluções para a tarefa
Resposta: Equação linear
O trabalho com equações existe devido à necessidade de encontrarmos valores desconhecidos de incógnitas. Chamamos de equação quando temos uma expressão algébrica com igualdade, e ela é classificada como linear quando o maior expoente de suas incógnitas é 1, conforme os exemplos a seguir:
2x + y = 7 → equação linear com duas incógnitas
a + 4 = -3 → equação linear com uma incógnita
De modo geral, uma equação linear pode ser descrita por:
a1x1 + a2x2 + a3x3… + anxn = c
Conhecemos como sistema de equação quando há mais de uma equação linear. Começaremos com sistemas lineares de duas incógnitas.
Resolução de sistemas lineares
Sistemas lineares com duas equações do 1º grau e duas incógnitas
Para resolver um sistema de duas equações e duas incógnitas, existem vários métodos, os três mais conhecidos são:
método da comparação
método da adição
método da substituição
Qualquer um dos três pode resolver um sistema linear de duas equações e duas incógnitas. Esses métodos não são tão eficientes para sistemas com mais equações, já que existem outros métodos específicos para resolvê-los.
Método da substituição
O método da substituição consiste em isolar uma das incógnitas em uma das equações e realizar a substituição na outra equação.
Exemplo:
1º passo: isolar uma das incógnitas.
Chamamos de I a primeira equação e de II a segunda equação. Analisando as duas, vamos escolher a incógnita que esteja mais fácil de ser isolada. Note que, na equação I → x + 2y = 5, o x não possui coeficiente, o que faz com que seja mais fácil isolá-lo, logo, reescreveremos a equação I desta forma:
I → x + 2y = 5
I → x = 5 – 2y
2º passo: substituir I em II.
Agora que temos a equação I com o x isolado, na equação II, podemos substituir x por 5 – 2y.
II → 3x – 5y = 4
Substituindo x por 5 – 2y:
3 (5 – 2y) – 5y = 4
Agora que a equação tem só uma incógnita, é possível resolvê-la para encontrar o valor de y.
Conhecendo o valor de y, encontraremos o valor de x realizando a substituição do valor de y na equação I.
I → x = 5 – 2y
x = 5 – 2 · 1
x = 5 – 2
x = 3
Então a solução do sistema é S = {3,1}.
Método da comparação
O método da comparação consiste em isolarmos uma incógnita nas duas equações e igualar esses valores.
Exemplo:
1º passo: seja I a primeira equação e II a segunda, vamos isolar uma das incógnitas em I e II. Escolhendo isolar a incógnita x, temos que:
2º passo: igualar as duas novas equações, já que x = x.
3º passo: substituir o valor de y por -2 em uma das equações.
x = -4 – 3y
x = -4 – 3 (-2)
x = -4 + 6
x = 2
Então a solução desse sistema é o conjunto S = {2,-2}.
Veja também: Quais as diferenças entre função e equação?
Método da adição
O método da adição consiste em realizar a multiplicação de todos os termos de uma das equações, de tal modo que, ao somar-se a equação I na equação II, uma de suas incógnitas fique igual a zero.
Exemplo:
1º passo: multiplicar uma das equações para que os coeficientes fiquem opostos.
Note que, se multiplicarmos a equação II por 2, teremos 4y na equação II e -4y na equação I, e que, ao somarmos I + II, teremos 0y, logo, vamos multiplicar todos os termos da equação II por 2 para que isso aconteça.
I → 5x – 4y = -5
2 · II → 2x + 4y = 26
2º passo: realizar a soma I + 2 · II.
3º passo: substituir o valor de x = 3 em uma das equações.
Sistemas lineares com três equações do 1º grau e três incógnitas
Quando o sistema possui três incógnitas, adotamos outros métodos de resolução. Todos esses métodos relacionam os coeficientes com matrizes, e os métodos mais utilizados são a regra de Crammer ou o escalonamento. Para a resolução em ambos os métodos, é necessário a representação matricial do sistema, inclusive o sistema 2x2 pode ser representado por meio de uma matriz. Há duas possíveis representações, a matriz completa e a matriz incompleta:
Exemplo:
O sistema
Pode ser representado pela matriz completa
E pela matriz incompleta
Regra de Crammer
Para encontrarmos soluções de um sistema 3x3, com incógnitas x, y e z, utilizando a regra de Crammer, é necessário calcularmos o determinante da matriz incompleta e suas variações. Temos então que:
D → determinante da matriz incompleta do sistema.
Dx → determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo-se a coluna de x pela coluna dos termos independentes.
Dy → determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo-se a coluna de y pela coluna dos termos independentes.
Dz → determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo-se a coluna de z pela coluna dos termos independentes.
Dessa forma, para encontrar o valor de suas incógnitas, primeiro precisamos calcular o determinante D, Dx, Dy associado ao sistema.
Explicação passo-a-passo: