Question

(Santa Casa-SP) Seja a igualdade
1+(y + x)i = 2y - x - 4i,
onde i é a unidade imaginário. Os números reais x e y, que satisfazem essa igualdade, são tais que:

a) y = 3x
b) x = 3y
c) xy = -3
d) x - y = 2
e) x + y =2

Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉.

Usando a "propriedade" das igualdades dos complexos:

$\begin{cases}\boxed{z = a + bi \: \: \: \: \: w = c + di} \\ \\ z = w \rightarrow a = c \: \: \: \: e \: \: \: \: bi = di \end{cases}$

Ou seja, temos que igualar a parte real com a parte real e a parte imaginária com a parte imaginária.

Temos que:

$\underbrace{1} _{a} + \underbrace{(y + x)i} _{b}= \underbrace{2y - x} _{a} \: \: \:\underbrace{- 4i}_{b}$

Então a → parte real, b → parte imaginaria, igualando b com b e a com a, obtemos:

$\begin{cases} 2y - x = 1 \\ y + x = - 4\end{cases}$

Note que surgiu um sistema, vamos resolver pelo método da adição, ou seja, somar as duas equações.

$2y - x + y + x = 1 - 4 \\ 2y + y - \cancel{x} + \cancel{x} = - 3 \\ 3y = - 3 \\ y = \frac{ - 3}{3} \\ \boxed{y = - 1}$

Para achar o valor de x basta substituir o valor de y em uma das duas equações.

$y + x = - 4 \\ - 1 + x = - 4 \\ x = - 4 + 1 \\ \boxed{ x = - 3}$

Agora vamos analisar as alternativas:

$\begin{cases}a)y = 3x \\ y = 3.( - 3) \\ y = - 9 \rightarrow (falsa) \\ \\ b)x = 3y \\ x = 3.( - 1) \\ x = - 3 \rightarrow (verdadeira) \\ \\ c)x.y = - 3 \\ ( - 1).( - 3) = 3 \rightarrow (falsa) \\ \\ d)x - y = 2 \\ - 3 - ( - 1) = - 3 + 1 = - 2 \rightarrow (falsa) \\ \\ e)x + y = 2 \\ ( - 3) + ( - 1) = - 4 \rightarrow (falsa)\end{cases}$

Resposta: letra b)

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️