Sabendo-se que x+y^-1=7 e que x=4y, o valor da expressão x^2 +y^-2 é igual a: a) 49 , b)47 , c)45 , d) 43 , e ) 41.
Soluções para a tarefa
seja o seguinte sistema
x + 1/y = 7 (I)
x = 4y (II)
substitue (II) em (I)
4y + 1/y = 7
multiplique tudo por y
4y² + 1 = 7y
equaçao do 2 grau
4y² - 7y + 1 = 0
delta
d² = 49 - 16 = 33
d = √33
y1 = (7 + √33)/8
x1 = y1/4 = (7 + √33)/2
y2 = (7 - √33)/8
x2 = y2/4 = (7 - √33)/2
agora
x² + 1/y² = ((7 + √33)/2)² + 1/((7 + √33)/8)² = 41
x² + 1/y² = ((7 - √33)/2)² + 1/((7 - √33)/8)² = 41
O valor da expressão x² + y⁻² é 41.
Observe que podemos escrever a expressão x + y⁻¹ = 7 da seguinte forma: x + 1/y = 7.
Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos (x + 1/y)² = 7², ou seja, (x + 1/y)² = 49.
Para o lado esquerdo da igualdade, podemos utilizar o quadrado da soma. O quadrado da soma é definido por:
- (a + b)² = a² + 2ab + b².
Assim, obtemos:
x² + 2x/y + 1/y² = 49.
Do enunciado, temos a informação de que x é o quádruplo de y, ou seja, x = 4y. Substituindo o valor de x por 4y, obtemos:
x² + 2.4y/y + 1/y² = 49
x² + 8 + 1/y² = 49
x² + 1/y² = 49 - 8
x² + 1/y² = 41.
Note que x² + 1/y² é o mesmo que x² + y⁻². Portanto, podemos concluir que a alternativa correta é a letra e).
Para mais informações sobre expressão: https://brainly.com.br/tarefa/19011834
