Question

Sabendo-se que x é um arco do segundo quadrante e que cos x = -4/5, determine o valor de tg (2x).

Answer 1

Resposta:

$\tan(2x)=-\frac{24}{7}$

Explicação passo-a-passo:

Pela relação fundamental trigonométrica, temos que $\sin^2x+\cos^2x=1$, logo:

$\sin^2x+\left(-\frac{4}{5}\right)^2=1$

$\sin^2x+\frac{16}{25}=1$

$\sin^2x=1-\frac{16}{25}$

$\sin^2x=\frac{9}{25}$

$\sin x=\pm\frac{3}{5}$

Como o ângulo se encontra no 2º quadrante, o seno é positivo então $\sin x=\frac{3}{5}$. temos então que:

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$

$\tan x=\frac{\left(\frac{3}{5}\right)}{\left(-\frac{4}{5}\right)}$

$\tan x=-\frac{3}{4}$

A tangente da soma de dois ângulos é dada por: $\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$. Temos então que:

$\tan(2x)=\tan(x+x)$

$\tan(2x)=\frac{\tan x+\tan x}{1-\tan x\tan x}$

$\tan(2x)=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}$

$\tan(2x)=\frac{2\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)}{1-\left(-\frac{3}{4}\right)^2}$

$\tan(2x)=\frac{\left(-\frac{3}{2}\right)}{\left(\frac{7}{16}\right)}$

$\tan(2x)=-\frac{24}{7}$