Question

Sabendo-se que: x=1685 A=x^4 + 3x³ - 125x - 375, B= x² - 2x - 15, C= x³ + 5x² + 25x. O número N = BC/337A é: A) divisor de 12. B) múltiplo de cinco. C) par. D) múltiplo de 10. E) divisor de 18

Answer 1

Sem substituir ainda, vamos fazer as operações possíveis com as equações que temos:
BC/337A = (x² - 2x - 15)(x³ + 5x² + 25x)/337(x^4+3x³ - 125x - 375)
Vamos fatorar os termos:
x²- 2x - 15: as raízes são -3 e 5, certo? (soma 2 e produto -15).
Podemos escrever então como:
(x + 3)(x - 5)

Agora x³ + 5x² + 25x: põe o x em evidência => x (x² + 5x + 25)
Como as raízes da parte do segundo grau não são reais, a fatoração acaba aí.
Ok, então no numerador estamos com:
(x+3)(x-5)x(x² + 5x + 25)

agora vamos para o denominador:
x^4 + 3x³ - 125x - 375, note que essa expressão é divisível pelo x²+5x+25 que achamos ali em cima, resultando em x² - 2x - 15. Então podemos escrever o A como (x² + 5x + 25)(x² - 2x - 15). O primeiro já vimos que não dá pra fatorar. Agora o segundo termo tem por raízes -3 e 5, igual fizemos lá no início. Então podemos escrever o denominador como
337A = 337 (x^4 + 3x³ - 125x - 375) = 337(x² + 5x + 25)(x²- 2x - 15) = 337(x² + 5x + 25)(x+3)(x-5)

Então estamos com (x+3)(x-5)x(x² + 5x + 25)/337(x² + 5x + 25)(x+3)(x-5)
Podemos cancelar os termos iguais, ficando com
x/337
Substituindo o x por 1685, temos
1685/337 = 5.
Logo, alternativa B.