Question

sabendo-se que vértices de um triangulo ABC são A ( 2;-3 ) B ( -2;1 ) e C ( 5;3 ) , determine a medida do comprimento da medida ( AM ).

Answer 1

Para calcular a medida do comprimento da mediana (AM), teremos que calcular a distância entre o ponto (A) e à reta (BC).

1) Montagem da reta BC:

• Primeiro vamos calcular o coeficiente da Reta BC:

• o coeficiente angular é calculado através da diferença entre as ordenadas e as abscissas dos pontos BC.

Vamos identificar os valores das abscissas e ordenadas:

$\begin{cases} \sf B ( -2,1 ) \rightarrow x_a = - 2 \: \: \: y _a = 1\\ \sf C ( 5,3 ) \rightarrow x _b = 5 \: \: \: y_b = 3 \end{cases}$

Vamos substituir na fórmula, tais dados que organizamos:

$\boxed{ \sf m = \frac{y_b - y_a}{x_a - x_b} } \\ \\ \sf m = \frac{3 - 1}{5 - ( - 2)} \\ \\ \sf m = \frac{2}{5 + 2} \\ \\ \boxed{ \sf m = \frac{2}{7} }$

Tendo calculado o coeficiente, vamos de fato montar a equação, para isso vamos usar a fórmula fundamental da reta:

$\boxed{ \sf y - y_0 = m.(x - x_0)}$

Agora temos que escolher uma coordenada, B ou C, para que possamos substituir no local de (xo) e (yo), no meu caso escolherei o ponto B.

$\boxed{ \sf B ( -2,1 ) \rightarrow x_0 = - 2 \: \: \: \: y_0 = 1}$

Substituindo:

$\sf y - 1 = \frac{2}{7} .(x - ( - 2)) \\ \\ \sf y - 1 = \frac{2}{7} (x + 2) \\ \\ \sf y - 1 = \frac{2x}{7} + \frac{4}{7} \\ \\ \sf mmc = 7 \\ \\ \sf 7y - 7 = 2x + 4 \\ \\ \sf 2x + 4 - 7y + 7 = 0 \\ \\ \boxed{\sf 2x - 7y + 11 = 0}$

II) Distância da reta BC e o ponto A.

Agora devemos calcular a distância entre essa reta e o ponto A, a fórmula usada será:

$\boxed{\sf d = \frac{ | ax_0 + by_0 + c| }{ \sqrt{a {}^{2} + b {}^{2} } } }$

Os elementos "a", "b" e "c" são os coeficientes da reta BC.

$\sf 2x - 7y + 11 = 0 \rightarrow \sf \begin{cases} \sf a = 2 \\ \sf b = - 7 \\ \sf c = 11 \end{cases}$

Os elementos xo e yo são os valores da abscissa e ordenada do ponto A.

$\boxed{ \sf A(2, - 3) \rightarrow x_0 = 2 \: \: \: y_0 = - 3}$

Substituindo e calculando:

$\sf d = \frac{| 2.2 + ( - 7).( - 3) + 11| }{ \sqrt{(2) {}^{2} + ( - 7) {}^{2} } } \\ \\ \sf d = \frac{ |4 + 21 + 11| }{ \sqrt{4 + 49} } \\ \\ \sf d = \frac{ |36| }{ \sqrt{53}} \\ \\ \sf d = \frac{36}{ \sqrt{53} } . \frac{ \sqrt{53} }{ \sqrt{53} } \\ \\ \sf d = \frac{36 \sqrt{53} }{ \sqrt{2809} } \\ \\ \boxed{\sf d = \frac{36 \sqrt{53} }{53} \: u.c }$

Espero ter ajudado