Question

Sabendo-se que um triângulo tem vértices A(2, 1), B(− 2, − 2), e C, em que C é um ponto da reta r : 3x − 4y = 12, é correto afirmar
que sua área mede, em unidades de área.

Answer 1

Resposta:

Confesso que foi chatinha,  já que fazia tempo que não fazia questão assim.

A= 5 u

Explicação passo-a-passo:

Preste muita atenção ...

Para se calcular a área de um triangulo é Base × altura, assim sendo, pense comigo, a base a reta formada por AB, a altura também vai ser uma reta, concorda? pode ser tanto de A para a reta C, quanto de B para a reta C, mas vamos fazer de A para a reta C

Lembre-se de que um reta perpendicular tem seu coeficiente angular dado por: a₁ × a₂ = -1

Agora observe que a reta formada por A até a reta C, é perpendicular a reta AB e passa pelo próprio ponto A, assim vamos descobrir o coeficiente angular de Ab e jogar na fórmula da reta perpendicular.

• a=Δy ÷ Δx

       A( 2, 1) B(-2, -2)

       a=1-(-2) ÷ 2-(-2)= $\frac{3}{4}$

• a₁ × $\frac{3}{4}$ = -1

        a₁=  $\frac{-4}{ 3}$

Agora fica fácil, joga "A"  e o "a₁"  nessa fórmula e tu vai achar a reta perpendicular : Y- Yp = a₁ ( x- xp)

y - 1 = $\frac{-4}{ 3}$ ( x - 2)

y= $\frac{-4x}{ 3}$ +$\frac{11}{3}$

• Tudo concorda comigo que a reta perpendicular e a reta do ponto "C" terão um ponto em comum, ou seja, se intersectaram? E esse ponto será C.

Logo,

$\left \{ {{y= \frac{-4x}{ 3} +\frac{11}{3}\atop {y=\frac{3x}{4}-3} \right.$

Basta iguala-las, isto é, fazer um sisteminha.

Você vai achar X= $\frac{20}{7}$

Y= $\frac{-6}{7}$

Para achar a área tu poderia fazer a distância de AC, AB, BC e jogar na formula de área de um triangulo. Mas eu indico algo mais rápido, há um "macete" que diz que o modulo do determinante  da matriz dos três pontos dividido por 2  é igual a área do triangulo.

Então:

$\left[\begin{array}{ccc}2&1\\-2&-2\\\frac{20}{7} &\frac{-6}{7} \end{array}\right]$

• Coloque os pontos "x" na primeira coluna( vertical) e "y" na segunda.

Agora só achar o determinante da matriz:

D= -4 + $\frac{12}{7}$ +$\frac{20}{7}$ + 2 + $\frac{40}{7}$ + $\frac{12}{7}$

D= $\frac{70}{7}$= 10

Lembre-se do que falei acima e  divida o modulo de 10 por 2 e ai estará a área do triangulo.

Modulo de 10 = 10 certo?!

A= 5 u .