Sabendo-se que um plano pode ser determinado por três pontos não colineares, determine a equação reduzida do plano π que passa pelos pontos A(-2,1,0), B(-1,4), e C(0,-2,2).
a)12x + 2y - 9z + 22 = 0
b)2x + 2y - 9z + 22 = 0
c)12x + 12y - 9z + 22 = 0
d)12x + 2y + 9z + 22 = 0
e)12x + 2y - 9z - 22 = 0
Soluções para a tarefa
A equação reduzida do plano π é 12x + 2y - 9z + 22 = 0.
Primeiramente, vamos determinar os vetores AB e AC:
AB = (-1,4,2) - (-2,1,0)
AB = (-1 + 2, 4 - 1, 2 - 0)
AB = (1,3,2)
e
AC = (0,-2,2) - (-2,1,0)
AC = (0 + 2, -2 - 1, 2 - 0)
AC = (2,-3,2).
Os vetores AB e AC são paralelos ao plano.
Ao fazermos o produto vetorial AB x AC, obtemos um vetor normal ao plano:
AB x AC = i(3.2 - (-3).2) - j(1.2 - 2.2) + k(1.(-3) - 2.3)
AB x AC = i12 - j.(-2) + k(-9)
Ou seja, AB x AC = (12,2,-9).
A equação cartesiana do plano é da forma ax + by + cz = d, sendo (a,b,c) o seu vetor normal.
Então, o plano possui o formato 12x + 2y - 9z = d.
Substituindo o ponto C nessa equação:
12.0 + 2.(-2) - 9.2 = d
-4 - 18 = d
d = -22.
Portanto, a equação do plano π é:
π: 12x + 2y - 9z = -22
π: 12x + 2y - 9z + 22 = 0.
Resposta:
Resposta A
Explicação passo-a-passo: