Question

Sabendo-se que Sen²x + 5 cos²x = 3, com 0 < x < $\frac{ \pi }{2}$ , calcule sen x e cos x.

Answer 1

Sabendo que 0 < x < 90, x está no primeiro quadrante, logo ambos seno e cosseno devem ser positivos.

Vamos utilizar a relação fundamental da trigonometria pra resolver este problemma
$sen^{2}x + 5cos^{2}x = 3$
Também pode ser escrita como:
$sen^{2}x + cos^{2}x + 4cos^{2}x = 3$
De acordo com a relação fundamental da trigonometria, $sen^{2}x + cos^{2}x = 1$, então podemos subtituir
$1 + 4cos^{2}x = 3$

$4cos^{2}x = 2$

$cosx = \sqrt{\frac{1}{2}}$


Sabendo que $cosx = \sqrt{\frac{1}{2}}$, podemos substituir o cos²x na equação inicial para encontrar senx.

$sen^{2}x + 5 \frac{1}{2} = 3$

$sen^{2}x + \frac{5}{2} = 3$

$sen^{2}x = \frac{6}{2} - \frac{5}{2}$

$sen^{2}x = \frac{1}{2}$

$senx = \sqrt{\frac{1}{2}}$

Portanto:
$senx = \sqrt{\frac{1}{2}}$

$cosx = \sqrt{\frac{1}{2}}$

Para retiramos a fração de dentro da raiz, podemos fazer o seguinte:
$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$
Multiplicando por um
$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} .\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

$senx = cosx = \frac{\sqrt{2}}{2}$