Question

Sabendo - se que sen x = 1/2 e que x é um ângulo do primeiro quadrante, Qual o valor da expressão
sen (4x) - cos (4x) ?

Answer 1

Resposta:

(√3+1)/2

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

O valor da expressão é (√3 + 1)/2.

Funções trigonométricas

As funções trigonométricas são obtidas a partir do círculo trigonométrico e são periódicas. O domínio destas funções é o conjunto dos números reais.

Podemos utilizar uma das propriedades do seno e cosseno para reescrever a expressão:

sen(2x) = 2·sen x·cos x

cos(2x) = 1 - 2·sen² x

Assim, se sen x = 1/2, teremos:

sen² x + cos² x = 1

(1/2)² + cos² x = 1

cos² x = 1 - 1/4

cos x = √3/2

Resolvendo a expressão, seja 2x = y:

e = sen(2y) - cos(2y)

e = 2·sen(y)·cos(y) - (1 - 2·sen²(y))

Substituindo y:

e = 2·sen(2x)·cos(2x) - (1 - 2·sen(2x)·sen(2x))

e = 2·[2·sen(x)·cos(x)]·[1 - 2·sen²(x)] - (1 - 2·[2·sen(x)·cos(x)]·[2·sen(x)·cos(x)])

Substituindo sen x e cos x:

e = 2·[2·1/2·√3/2]·[1 - 2·(1/2)²] - (1 - 2·[2·1/2·√3/2]·[2·1/2·√3/2])

e = √3/2 - 1 + √3·√3/2

e = √3/2 - 1 + 3/2

e = √3/2 + 1/2

e = (√3 + 1)/2

Leia mais sobre funções trigonométricas em:

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