Question

Sabendo-se que sen a-cos a=m e sen a + cos a=n, o valor de y =sen^4 a -cos^4 é:

Answer 1

Perceba que somando-se a 1ª equação dada "sen(a)-cos(a)=m" e a 2ª equação "sen(a)+cos(a)=n", podemos achar o valor de sen(a):

$sen(a)-cos(a)~+~sen(a)+cos(a)~=~m+n\\\\\\2sen(a)~=~m+n\\\\\\\boxed{sen(a)~=~\frac{m+n}{2}}$

Substituindo sen(a) em uma das duas equações, poderemos obter o valor de cos(a):

$sen(a)+cos(a)~=~n\\\\\\\frac{m+n}{2}+cos(a)~=~n\\\\\\cos(a)~=~n-\frac{m+n}{2}\\\\\\cos(a)~=~\frac{2n-m-n}{2}\\\\\\\boxed{cos(a)~=~\frac{n-m}{2}}$

Podemos agora passar ao calculo da expressão solicitada:

$y~=~sen^4(a)~-~cos^4(a)\\\\\\y~=~\left(\frac{m+n}{2}\right)^4~-~\left(\frac{n-m}{2}\right)^4\\\\\\y~=~\frac{(m+n)^4}{2^4}~-~\frac{(n-m)^4}{2^4}\\\\\\Lembrando~do~produto~notavel:(x+y)^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4\\\\\\y~=~\frac{m^4+4m^3n+6m^2n^2+4mn^3+n^4}{16}~-~\frac{n^4+4n^3(-m)+6n^2(-m)^2+4n(-m)^3+(-m)^4}{16}\\\\\\y~=~\frac{m^4+4m^3n+6m^2n^2+4mn^3+n^4}{16}~-~\frac{n^4-4n^3m+6n^2m^2-4nm^3+m^4}{16}\\\\\\y~=~\frac{m^4+4m^3n+6m^2n^2+4mn^3+n^4~~-n^4+4n^3m-6n^2m^2+4nm^3-m^4}{16}$

$Simplificando~os~termos~inversos\\\\\\y~=~\frac{4m^3n+4mn^3~~+4n^3m+4nm^3}{16}\\\\\\Somando~os~termos~semelhantes\\\\\\y~=~\frac{8m^3n~+~8n^3m}{16}\\\\\\Simplificando~a~fracao~por~8\\\\\\\boxed{y~=~\frac{m^3n~+~n^3m}{2}}$

Answer 2

Resposta:

mn

Explicação passo-a-passo: