Question

Sabendo-se que P(a,b) , A(-1,-2) e B(2,1) são colineares simultaneamente com P(a,b) , C-2,1) e D(1,-4) , calcular a e b.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Rayane, quando três ou mais pontos são colineares, o determinante da matriz formada a partir desses pontos é igual a zero.
Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Vamos formar a matriz formada pelos pontos P(a; b), A(-1; -2) e B(2; 1) e igualá-la a zero,  já colocando-a na forma de desenvolvê-la:

|a....b....1|a.....b|
|-1..-2...1|-1...-2| = 0 ------ desenvolvendo, teremos
|2.....1...1|2.....1|

a*(-2)*1+b*1*2+1*(-1)*1 - [2*(-2)*1+1*1*a+1*(-1)*b)] = 0
-2a + 2b - 1 - [-4 + a - b] = 0 ---- retirando-se os colchetes, teremos:
- 2a + 2b - 1 + 4 - a + b = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes:
-3a + 3b + 3 = 0 ---- ou:
-3a + 3b = - 3 ---- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "-1", ficando assim:

3a - 3b = 3     . (I) 

ii) Agora vamos formar a matriz formada pelos pontos P(a; b), C(-2; 1) e D(1; -4) e igualá-la a zero, já colocando-a na forma de desenvolver também:

|a...b....1|a...b|
|-2..1...1|-2...1| = 0 ----- desenvolvendo, teremos:
|1...-4..1|1...-4|

a*1*1 + b*1*1 + 1*(-2)*(-4) - [1*1*1+(-4)*1*a+1*(-2)*b] = 0
a + b + 8 - [1 - 4a - 2b] = 0 --- retirando-se os colchetes, teremos:
a + b + 8 - 1 + 4a + 2b = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes:
5a + 3b + 7 = 0
5a + 3b = -7    . (II)

iii) Agora veja que ficamos com um sistema formado pelas expressões (I) e (II), que são estas:

3a - 3b = 3      . (I)
5a + 3b = -7     . (II)

Faremos o seguinte: somaremos, membro a membro, a expressão (I) com a expressão (II). Assim:

3a - 3b = 3 --- [esta é a expressão (I) normal]
5a + 3b = -7 --- [esta é a expressão (II) normal]
------------------------------ somando membro a membro, teremos:
8a + 0 = -4 ---- ou apenas:
8a = -4
a = -4/8 ---- dividindo-se numerador e denominador por "4", ficaremos com:
a = -1/2  <--- Este é o valor de "a".

Agora, para saber o valor de "b" basta irmos em quaisquer uma das expressões e, em quaisquer uma delas, substituiremos "a" por "-1/2". Vamos na expressão (I), que é esta:

3a - 3b = 3 ----- substituindo-se "a" por "-1/2", teremos:
3*(-1/2) - 3b = 3
-3/2 - 3b = 3 ------ mmc = 2. Assim, utilizando-o em toda a expressão, temos:
1*(-3) - 2*3b = 2*3
-3 - 6b = 6
- 6b = 6+3
- 6b = 9 ----multiplicando ambos os membros por "-1", teremos:
6b = - 9
b = -9/6 --- dividindo-se numerador e denominador por "3", ficaremos:
b = -3/2 <---- Este é o valor de "b".

iii) Assim, resumindo, temos que:

a = -1/2; e b = -3/2  <--- Esta é a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {a; b} da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = {-1/2; -3/2}

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.

Answer 2

Resposta:

obrigado vc tiroy um peso das minhas costas Deus te abençoe